Disequazione logaritmica con radice e modulo

Non riesco a capire come devo trattare il modulo di questa disequazione logaritmica:



Le soluzioni sono:

Ciao IlD0tt0re, vediamo subito come risolvere:


Cominciamo trattando la disequazione come una disequazione logaritmica.

La prima cosa da fare è lavorare con le condizioni di esistenza: l'argomento della radice deve essere maggiore di zero mentre il modulo, in quanto argomento del logaritmo, diverso da zero. Infatti l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, ma il modulo è per definizione una quantità maggiore o uguale a zero


A questo punto dobbiamo imporre la stessa disequazione tra gli argomenti ma attenzione: la base dei logaritmi è minore di uno perciò bisogna cambiare il verso della disequazione!


Sono entrambe quantità positive perciò eleviamo al quadrato..



Troviamo il delta..


da cui la soluzione è


La soluzione rientra pienamente nella prima condizione ( perché ogni in tale intervallo è sempre maggiore di zero ) ma non la seconda: si dovrà escludere dalle soluzioni.

Tutto chiaro?

Ma quando ce' il modulo non bisogna risolvere due sistemi?
Uno per quando è maggiore di zero e l'altro per quando è minore.
Perche' invece hai messo: modulo 0 ?

Forse perchè in questo caso, dato che una radice di un numero puo' essere minore solo di un altro numero positivo, si anallizza solo il caso positivo?

In teoria, ma ci sono casi in cui non è necessario. Nota che


E' questa essenzialmente la ragione per cui posso evitare di sviluppare il modulo ( una quantità elevata al quadrato è sempre positiva, dopotutto ).
L'ho potuto fare perché anche il secondo termine era sicuramente maggiore di zero .. in caso contrario non sarebbe stato possibile perché avrei tolto/aggiunto qualche possibile soluzione..

Ok. Quindi dato che sono entrambe certamente positive:

1) la radice -> per definizione delle C.E. stesse
2) il modulo -> perche' eleviamo al quadrato per estrarre la radice

non ho neanche bisogno di applicare lo studio del segno, giusto?
so già che è positivo.

Il modulo è sempre positivo per definizione. Al limite può essere negativo l'argomento ma non ci interessa dato che l'operazione abs ( il modulo ) lo rende positivo..

Ed infatti o fai lo studio del segno ( sconveniente ) oppure elevi al quadrato e non hai bisogno di studiare il segno .

Certo! molto piu' veloce risolvere un sistema in meno, soprattutto nelle prove dove il tempo è oro
Grazie ancora frank094!!