Equazione fratta con radici #84751

avt
marina370
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per determinare le soluzioni di un'equazione irrazionale fratta. Dopo aver impostato le condizioni di esistenza, non capisco come ricondurmi alla forma normale: i calcoli diventano via via più complicati.

Determinare l'insieme delle soluzioni della seguente equazione irrazionale fratta

\frac{\sqrt{x+2}-1}{2}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+1}

Grazie.
 
 

Equazione fratta con radici #84758

avt
Galois
Coamministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere la seguente equazione fratta

\frac{\sqrt{x+2}-1}{2}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+1}

nella quale compaiono diverse radici con indice pari. Prima di avventurarci nei passaggi algebrici, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza, in particolare dovremo richiedere che i radicandi siano contemporaneamente maggiori o al più uguali a zero e i denominatori che contengono l'incognita diversi da zero: con tali vincoli impostiamo il sistema di disequazioni

\begin{cases}x+2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -2 \\ \\ x\ge 0 \\ \\ \sqrt{x+2}+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\ge -2\end{cases}

il cui insieme soluzione è:

C.E.: \ x\ge 0

Determinata la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, procediamo con i passaggi algebrici che consentiranno di esprimere l'equazione in forma normale.

Portiamo tutti i termini al primo membro

\frac{\sqrt{x+2}-1}{2}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+1}=0

e calcoliamo il minimo comun denominatore

\frac{(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}-1)-2\sqrt{x}}{2(\sqrt{x+2}+1)}=0

Sotto il vincolo x\ge 0, siamo autorizzati a moltiplicare membro a membro per il denominatore comune e a ricondurci all'equazione

(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}-1)-2\sqrt{x}=0

Sviluppiamo il prodotto avvalendoci della regola relativa alla differenza di quadrati

\\ (\sqrt{x+2})^2-1^2-2\sqrt{x}=0 \\ \\ x+2-1-2\sqrt{x}=0\\ \\ x+1-2\sqrt{x}=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione irrazionale che risolviamo con la strategia standard che consiste nell'isolare la radice al primo membro e trasportare tutto il resto al secondo

-2\sqrt{x}=-x-1 \ \ \ \to \ \ \ 2\sqrt{x}=x+1

Imponiamo la condizione di concordanza pretendendo che x-1 sia maggiore o uguale a zero

C.C.: \ x+1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -1

Sotto tale vincolo, possiamo tranquillamente elevare al quadrato i due membri dell'equazione

2\sqrt{x}=x+1

e passare alla seguente:

(2\sqrt{x})^2=(x+1)^2 \ \ \ \to \ \ \ 4x=x^2+2x+1

da cui ricaviamo l'equazione di secondo grado

x^2-2x+1=0

Invece di risolverla con la formula del discriminante, possiamo osservare che il primo membro non è altro che il quadrato del binomio x-1, pertanto possiamo rivedere l'ultima equazione come

(x-1)^2=0 \ \ \ \to \ \ \ x-1= 0 \ \ \ \to \ \ \ x=1

Il valore ricavato soddisfa sia la condizione di esistenza (x\ge 0), sia la condizione di concordanza dei segni x\ge -1, di conseguenza è soluzione dell'equazione iniziale.

In definitiva, l'insieme soluzione dell'equazione fratta

\frac{\sqrt{x+2}-1}{2}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+1}

è S=\left\{1\right\}.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os