Scomposizione di un polinomio con raccoglimento e somma di cubi

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Scomposizione di un polinomio con raccoglimento e somma di cubi #8470

avt
luciaaa
Cerchio
Mi serve una mano per scomporre un polinomio in due indeterminate che dovrebbe fattorizzarsi con la regola sulla somma di cubi, almeno questo è quello che il mio insegnante mi ha riferito.

Fattorizzare il seguente polinomio, usando le opportune tecniche di scomposizione:

2x^5 y+2x^2 y^4

Grazie.
 
 

Scomposizione di un polinomio con raccoglimento e somma di cubi #8475

avt
nando
Frattale
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

2x^5y+2x^2y^4=

come prodotto di fattori irriducibili. Per raggiungere il nostro obiettivo, possiamo iniziare con il raccoglimento totale dei fattori comuni ai due addendi, ossia di 2, \ x^2 \ \mbox{e} \ y:

=2x^2y(x^3+y^3)

Non abbiamo ancora finito, giacché all'interno delle parentesi tonde si è manifestata la somma di due cubi che possiamo fattorizzare usando il prodotto notevole

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

Esso consente di scrivere la somma di due cubi come il prodotto tra la somma delle basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, dal quadrato della seconda e dal prodotto delle due basi, cambiato di segno.

Usando la regola, ricaviamo la seguente scomposizione:

2x^2y(x^3+y^3)=2x^2 y (x+y)(x^2-x y+y^2)

pertanto possiamo concludere che:

2x^5 y+2x^2 y^4=2x^2 y(x+y)(x^2-x y+y^2)

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, luciaaa
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Os