Equazione irrazionale con indice di radice 6

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Equazione irrazionale con indice di radice 6 #84676

avt
bellosguardo
Cerchio
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione irrazionale nella quale compare un termine irrazionale di indice 6. Da quello che ricordo dovrei impostare le condizioni di esistenza e di concordanza che però si tramutano in disequazioni irrisolvibili. Come posso fare?

Determinare le soluzioni dell'equazione irrazionale

\sqrt[6]{x^6+x+1}-x=0

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con indice di radice 6 #84694

avt
Galois
Coamministratore
Proponiamoci come obiettivo quello di calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione irrazionale

\sqrt[6]{x^6+x-1}-x=0

ma prima alcune considerazioni di carattere generale: nell'equazione compare una radice con indice pari dunque dobbiamo necessariamente imporre le condizioni di esistenza sotto le quali l'equazione è ben posta; come se non bastasse l'equazione non è in forma canonica, infatti il radicale non è isolato al primo membro.

Per esprimerla in forma normale, è sufficiente trasportare x al secondo membro e scriverla come:

\sqrt[6]{x^6+x-1}=x

Affinché il radicale sia ben posto dobbiamo richiedere che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero, ciò conduce a una disequazione di grado superiore al secondo

x^6+x-1\ge 0

che però non può essere risolta elementarmente. Nonostante sia praticamente impossibile risolverla con le tecniche standard, sarà comunque utile alla risoluzione del problema, infatti i valori candidati a soluzione devono necessariamente sottostare a tale vincolo

C.E.:\ x^6+x-1\ge 0

In aggiunta, dobbiamo tenere conto della parità dell'indice che ci obbliga a imporre quella che prende il nome di condizione di concordanza: poiché il primo membro è positivo o nullo, dev'esserlo anche il secondo, altrimenti l'uguaglianza non può sussistere per alcun valore di x.

Otteniamo quindi la condizione

C.C.: \ x\ge 0

Risolviamo l'equazione elevando alla sesta i due membri ottenendo

x^6+x-1=x^6

da cui ricaviamo l'equazione di primo grado

x-1=0\ \ \ \to \ \ \ x=1

Il valore x=1 è soluzione dell'equazione irrazionale se e solo se soddisfa contemporaneamente sia la condizione di esistenza, sia la condizione di concordanza.

Se rimpiazziamo x=1 nella condizione di esistenza ricaviamo:

1^6-1+1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 1\ge 0

mediante la quale deduciamo che x=1 la C.E.. Per quanto riguarda la condizione di concordanza, essa è chiaramente verificata, dunque possiamo affermare che x=1 è effettivamente soluzione di

\sqrt[6]{x^6+x-1}=x

che risulta quindi un'equazione determinata e il suo insieme soluzione è

S=\left\{1\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Iusbe
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Os