Risoluzione di una disequazione esponenziale fratta

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Risoluzione di una disequazione esponenziale fratta #8466

avt
ild0tt0re
Cerchio
Ciao devo risolvere la seguente disequazione esponenziale fratta:

 \frac{e^{2x}-e^x}{2e^{2x}-5e^x+2}>-1

ho le soluzioni

 \left(-\infty , \ln \left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)\text{  }U \left(-\text{ln2}, \ln \left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)\text{  }U (\text{ln2}, +\infty )

ma non riesco a risolverla: è due ore che ci sbatto la testa! Mi date una mano ragazzi?
 
 

Risoluzione di una disequazione esponenziale fratta #8472

avt
frank094
Sfera
Ciao ild0tt0re .. che brutta soluzione emt, vediamo come risolvere.

Prima di tutto osserviamo che si tratta pur sempre di una disequazione fratta, quindi applichiamo il solito metodo (vedi il link)

\frac{e^{2x} - e^{x}}{2e^{2x} - 5e^{x} + 2} + 1 > 0

Facciamo il minimo comune multiplo..

\frac{e^{2x} - e^{x} + 2e^{2x} - 5e^{x} + 2}{2e^{2x} - 5e^{x} + 2} > 0

Sommiamo i termini simili..

\frac{3e^{2x} - 6e^{x} + 2}{2e^{2x} - 5e^{x} + 2} > 0

Risolviamo le due disequazione separatamente, iniziando dal numeratore maggiore di zero. In entrambi i casi ci troveremo di fronte a delle disequazioni esponenziali

3e^{2x} - 6e^{x} + 2 > 0

Poniamo che sia e^{x} = y .. la disequazione diventa

3y^2 - 6y + 2 > 0

La soluzione è banale ( risolvendo l'equazione di secondo grado associata.. ) e si ottiene

N: y < \frac{1}{3} (3 - \sqrt{3}) \lor y > \frac{1}{3} (3 + \sqrt{3})

Sostituendo si ha

N: x < \log{\left(\frac{1}{3} (3 - \sqrt{3}) \right)} \lor x > \log{\left( \frac{1}{3} (3 + \sqrt{3}) \right)}

Adesso il denominatore..

2e^{2x} - 5e^{x} + 2 > 0

Dalla sostituzione y = e^x si ottiene la disequazione banale

2y^2 - 5y + 2 > 0

Le cui soluzioni sono ovviamente

D: y < \frac{1}{2} \lor y > 2

Da cui, sostituendo..

D: x < - \log{(2)} \lor x > \log{(2)}

Studiando il segno delle due soluzioni appena trovate si arriva alla soluzione da te presentata.. tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, ild0tt0re

Risoluzione di una disequazione esponenziale fratta #8476

avt
Omega
Amministratore
Ciao D0tt0re! emt

Per risolvere la disequazione esponenziale che proponi, per prima cosa portiamo il -1 a sinistra del simbolo di disequazione, e calcoliamo il denominatore comune

\frac{e^{2x}-e^{x}+2e^{2x}-5e^{x}+2}{2e^{2x}-5e^{x}+2}>0

Svolgiamo i calcoli

\frac{3e^{2x}-6e^{x}+2}{2e^{2x}-5e^{x}+2}>0

Sostituiamo y=e^{x}:

\frac{3y^2-6y+2}{2y^2-5y+2}>0

e studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore.

Numeratore maggiore-uguale a zero

3y^2-6y+2\geq 0

Dobbiamo determinare gli zeri del polinomio, mediante la formula del discriminante: troviamo

y=1\pm\frac{1}{\sqrt{3}}

e quindi il numeratore è positivo per

x\leq 1-\frac{1}{\sqrt{3}}\vee x\geq 1+\frac{1}{\sqrt{3}}

Denominatore maggiore strettamente di zero:

2y^2-5y+2>0

Procedendo come nel caso del numeratore, troviamo

y=\frac{1}{2}\mbox{ ; }y=2

e quindi il denominatore è positivo per

y\leq \frac{1}{2}\vee y\geq 2

Ora cerchiamo le soluzioni che rendono l'intera frazione positiva, con l'usuale grafico di confronto tra i segni per disequazioni fratte (linee piene "+", linee tratteggiate "-"). Le soluzioni delle disequazioni sono date da

y\leq 1-\frac{1}{\sqrt{3}}\vee \frac{1}{2}< y\leq 1+\frac{1}{\sqrt{3}}\vee y>  2

ora tornando alla forma esponenziale, cioè effettuando la sostituzione:

e^{x}\leq 1-\frac{1}{\sqrt{3}}\vee \frac{1}{2}< e^{x}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{3}}\vee e^{x}>  2

e applicando il logaritmo naturale ad ogni membro delle disequazioni:

x\leq \ln{\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\vee \ln{\left(\frac{1}{2}\right)}< x\leq \ln{\left( 1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\vee x>\ln{(2)}

Nota che \ln{\left(\frac{1}{2}\right)}=\ln{(2^{-1})}=-\ln{(2)}

se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere! emt

[EDIT: @Frank:...D'OH! :pinch: ]
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, ild0tt0re

Risoluzione di una disequazione esponenziale fratta #8479

avt
ild0tt0re
Cerchio
Fantastico due risposte emt
Grazie MILLE!! Ora le riguardo bene e vedo cosa ho sbagliato.

Ho capito tutto. Grazie frank094 e grazie Omega emt
Ringraziano: Omega
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Os