Altro esercizio su equazione trigonometrica elementare con coseno

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Altro esercizio su equazione trigonometrica elementare con coseno #84529

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione elementare in coseno. Il mio problema risiede nell'esprimere l'equazione in forma normale e, di conseguenza, non sono in grado di ricavare le eventuali soluzioni. Potreste aiutarmi?

Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione goniometrica:

\cos(x)=2\cos(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois
 
 

Altro esercizio su equazione trigonometrica elementare con coseno #84549

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\cos(x)=2\cos(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}

ma prima occorre esprimerla in forma normale, ossia nella forma

\cos(x)=m \ \ \ \mbox{con} \ m\in\mathbb{R}

A tal proposito, trasportiamo 2\cos(x) al primo membro

\cos(x)-2\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

dopodiché sommiamo algebricamente i coefficienti dei coseni

-\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Una volta cambiati i segni ai due membri, l'equazione in forma normale è:

\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Per ricavare le soluzioni, aiutiamoci con la circonferenza goniometrica: ci servirà per capire quali sono le soluzioni riferite all'intervallo 0\le x<2\pi.

Rappresentiamo il sistema di assi cartesiani OXY, disegniamo la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 e infine tracciamo la retta verticale di equazione X=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

La retta interseca la circonferenza in due punti che, congiunti con il centro, generano due raggi. A loro volta, i raggi formano con l'asse delle ascisse positive due angoli che sono soluzioni dell'equazione che giacciono nell'intervallo 0\le x<2\pi.

Esercizi equazioni goniometriche elementari 9

Per ottenere le ampiezze degli angoli, è sufficiente rifarsi alla tabella dei valori notevoli del coseno, mediante la quale ricaviamo:

x=\frac{3\pi}{4} \ \ \ , \ \ \ x=\frac{5\pi}{4}

Sia chiaro che queste non sono le uniche soluzioni dell'equazione: le altre si ottengono sfruttando la periodicità del coseno.

Dal punto di vista operativo, basta sommare 2k\pi ai due valori ottenuti, pertanto le soluzioni dell'equazione sono:

x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi

dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Iusbe
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Os