Scomposizione di un polinomio con parametro come trinomio notevole

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Scomposizione di un polinomio con parametro come trinomio notevole #84281

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulle scomposizioni di polinomi parametrici con la regola del trinomio notevole. A complicare il problema è in realtà il coefficiente di x^2: non è uguale a 1! Come devo comportarmi in questi casi?

Usare la regola del trinomio notevole per esprimere il seguente polinomio come prodotto di fattori irriducibili al variare del parametro reale k.

2x^2-3kx-2k^2

Grazie.
Ringraziano: Omega, Chiara25
 
 

Scomposizione di un polinomio con parametro come trinomio notevole #86931

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

2x^2-3kx-2k^2

al variare del parametro reale k, usando la regola del trinomio notevole. Oltre alla presenza del parametro, si aggiunge un ulteriore elemento di difficoltà: il coefficiente di x^2 non è 1.

Se il trinomio non è un polinomio monico, la regola del trinomio notevole si modifica leggermente: in tal caso dobbiamo infatti ricercare due numeri A \ \mbox{e} \ B la cui somma coincide con il coefficiente di x, mentre il loro prodotto dev'essere uguale al prodotto tra il coefficiente di x^2 e il termine noto, ossia:

A+B=-3k \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=2\cdot(-2k^2)=-4k^2

Proprio a causa del parametro k, A \ \mbox{e} \ B devono essere trattati alla stregua di monomi nella lettera k.

Con un po' di tentativi, ma soprattutto occhio clinico, scopriamo che i monomi da attribuire ad A e a B sono:

A=-4k \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=k

infatti

A+B=-4k+k=-3k \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=-4k\cdot k=-4k^2

Determinati A \ \mbox{e} \ B, il metodo prevede di rimpiazzare il coefficiente di x con la somma A+B=-4k+k e scrivere il polinomio

2x^2-3kx-2k^2=

nella forma

=2x^2+(-4k+k)x-2k^2=

Moltiplichiamo x per ciascun termine del binomio -4k+k

=2x^2-4kx+kx-2k^2=

e procediamo con la tecnica di raccoglimento parziale: raccogliamo 2x tra i primi due termini e k dagli ultimi due

=2x(x-2k)+k(x-2k)=

A questo punto dovrebbe essere chiaro come concludere l'esercizio: procediamo con il raccoglimento totale di x-2k e scriviamo la scomposizione del polinomio dato:

=(2x+k)(x-2k)

In conclusione, la scomposizione del polinomio è

2x^2-3kx-2k^2=(2x+k)(x-2k) \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{R}

Ecco fatto!
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