Scomposizione di un polinomio con parametro come trinomio notevole

Ho bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulle scomposizioni di polinomi parametrici con la regola del trinomio notevole. A complicare il problema è in realtà il coefficiente di : non è uguale a 1! Come devo comportarmi in questi casi?

Usare la regola del trinomio notevole per esprimere il seguente polinomio come prodotto di fattori irriducibili al variare del parametro reale .



Grazie.

L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio



al variare del parametro reale , usando la regola del trinomio notevole. Oltre alla presenza del parametro, si aggiunge un ulteriore elemento di difficoltà: il coefficiente di non è 1.

Se il trinomio non è un polinomio monico, la regola del trinomio notevole si modifica leggermente: in tal caso dobbiamo infatti ricercare due numeri la cui somma coincide con il coefficiente di , mentre il loro prodotto dev'essere uguale al prodotto tra il coefficiente di e il termine noto, ossia:



Proprio a causa del parametro devono essere trattati alla stregua di monomi nella lettera .

Con un po' di tentativi, ma soprattutto occhio clinico, scopriamo che i monomi da attribuire ad e a sono:



infatti



Determinati , il metodo prevede di rimpiazzare il coefficiente di con la somma e scrivere il polinomio



nella forma



Moltiplichiamo per ciascun termine del binomio



e procediamo con la tecnica di raccoglimento parziale: raccogliamo tra i primi due termini e dagli ultimi due



A questo punto dovrebbe essere chiaro come concludere l'esercizio: procediamo con il raccoglimento totale di e scriviamo la scomposizione del polinomio dato:



In conclusione, la scomposizione del polinomio è



Ecco fatto!