Esercizio equazione irrazionale con indice di radice 3

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Esercizio equazione irrazionale con indice di radice 3 #84184

avt
gcappellotto47
Cerchio
Mi è capitata un'equazione irrazionale con una radice cubica che non ho proprio idea di come risolvere. Dopo aver elevato al cubo i due membri ottengo infatti un'equazione di grado superiore al secondo che non sono in grado di scomporre. Forse dovrei utilizzare la regola di Ruffini, che però non ricordo più.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione irrazionale

x=\sqrt[3]{7x-6}

Grazie.
 
 

Esercizio equazione irrazionale con indice di radice 3 #84194

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione irrazionale

x=\sqrt[3]{7x-6}

e cominciamo con l'analisi della stessa: osserviamo innanzitutto che non è espressa in forma normale, infatti il radicale non è isolato al primo membro. Notiamo inoltre che la radice ha indice dispari, pertanto non dobbiamo imporre alcuna condizione di esistenza, così come non dobbiamo imporre alcuna condizione di concordanza.

Dopo queste considerazioni, iniziamo a scrivere l'equazione in forma normale isolando il radicale a sinistra

-\sqrt[3]{7x-6}=-x

e, una volta cambiati i segni, ricaviamo

\sqrt[3]{7x-6}=x

Ora che l'equazione è a modello, possiamo elevare al cubo i due membri e cancellare la radice cubica

7x-6=x^3 \ \ \ \to \ \ \ x^3-7x+6=0

Siamo di fronte a un'equazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere usando la regola di Ruffini. Per poterla innescare abbiamo bisogno di una soluzione particolare. Come sceglierla? Ci viene in soccorso il teorema delle radici razionali, secondo cui ogni radice razionale di un polinomio monico è divisore del termine noto.

Nel caso in esame, i divisori interi del termine noto sono:

\mbox{Divisori di} - 6: \{\pm 1, \ \pm 2 , \ \pm 3,\ \pm 6\}

Procedendo per tentativi, cerchiamo un valore che realizza l'uguaglianza: nel caso in esame, 1 è il numero che fa al caso nostro, infatti rimpiazzandolo al posto dell'incognita, otteniamo un'identità:

1^3-7\cdot 1+6=0 \ \ \ \to \ \ \ 0=0

In forza della regola di Ruffini, saremo in grado di esprimere l'equazione come

(x-1)Q(x)=0

dove Q(x) è un polinomio di secondo grado i cui coefficienti sono dati dalla seguente tabella

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&0&&-7&6\\&&&&&&\\&&&&&&\\ 1&&&1&&1&-6\\ \hline&1&&1&&-6&0 \end{array}

Ad eccezione dell'ultimo elemento, l'ultima riga è costituita dai coefficienti di Q(x) ordinati secondo le potenze decrescenti di x, pertanto

Q(x)=x^2+x-6

Il primo membro dell'equazione si scompone quindi come prodotto di due fattori

(x-1)(x^2+x-6)=0

e facendo intervenire la legge di annullamento del prodotto otteniamo le seguenti equazioni

x-1=0 \ \ \ , \ \ \ x^2+x-6=0

La prima è una semplice equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

x-1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=1

La seconda è invece un'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono

a=1\ \ \ , \ \ \ b=1 \ \ \ , \ \ \ c=-6

Calcoliamone il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac= 1^2-4\cdot 1 \cdot (-6)=25

e le soluzioni con la relazione

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-1\pm 5}{2}=\begin{cases}\frac{-1-5}{2}=-3=x_1\\ \\ \frac{-1+5}{2}=2=x_2\end{cases}

Abbiamo a disposizione tutte le informazioni che ci servono per concludere: l'equazione irrazionale è determinata, infatti ammette tre soluzioni

x_0=1 \ \  \ , \ \ \ x_1=-3 \ \ \ ,\ \ \ x_2=2

e il suo insieme soluzione è

S=\left\{-3,\ 1,\ 2\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, ElenaVet
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Os