Scomporre un trinomio in fattori irriducibili

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Scomporre un trinomio in fattori irriducibili #8396

avt
sebyspi
Cerchio
In un compito in classe, il prof ha proposto un esercizio sulla scomposizione di un polinomio che non sono riuscito a risolvere. Durante la correzione, cui io non ero presente, il prof ha usato due prodotti notevoli: il quadrato di binomio e la differenza di quadrati. Potreste farmi vedere i passaggi, per favore?

Esprimere il seguente polinomio come prodotto di fattori irriducibili

81x^4-18x^2+1

Grazie.
 
 

Scomporre un trinomio in fattori irriducibili #8529

avt
Ifrit
Ambasciatore
Esaminiamo con attenzione il polinomio

81x^4-18x^2+1

- il monomio 81x^4 è il quadrato di 9x^2, infatti per le proprietà delle potenze, scriviamo:

(9x^2)^2=9^2(x^2)^2=81x^4

- il monomio 1 è chiaramente il quadrato di se stesso;

- il monomio -18x^2 è il doppio prodotto tra 9x^2\ \mbox{e} \ 1, cambiato di segno.

Sulla base di quanto scritto, deduciamo che 81x^4-18x^2+1 è lo sviluppo del quadrato di binomio (9x^2-1)^{2}, pertanto siamo autorizzati a scrivere l'uguaglianza:

81x^4-18x^2+1=(9x^2-1)^2=

Attenzione, non abbiamo ancora finito! Se analizziamo scrupolosamente la base 9x^2-1, ci accorgiamo che è la differenza dei quadrati di 3x\ \mbox{e}\ 1, per cui la precedente espressione si riscrive nella forma equivalente

=[(3x-1)(3x+1)]^2=

La regola sulla potenza di un prodotto ci permette, infine, di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base e di ricavare la scomposizione richiesta:

=(3x-1)^2(3x+1)^2

Ecco fatto!
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Os