Esercizio equazioni con logaritmi e termini fratti

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Esercizio equazioni con logaritmi e termini fratti #83623

avt
Possi23
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione logaritmica fratta in cui compaiono termini esponenziali. Ho tentato diversi approcci, senza però ottenere il risultato del libro.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione logaritmica.

\log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{x}{2^x+1}\right)=\log_{\frac{1}{4}}(x)-\log_{\frac{1}{4}}(2(2^x-1))

Grazie.
 
 

Esercizio equazioni con logaritmi e termini fratti #83635

avt
Omega
Amministratore
Per poter determinare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

\log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{x}{2^x+1}\right)=\log_{\frac{1}{4}}(x)-\log_{\frac{1}{4}}(2(2^x-1))

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: è necessario richiedere che gli argomenti dei logaritmi siano contemporaneamente maggiori di zero. Impostiamo quindi il sistema di disequazioni

\begin{cases}\dfrac{x}{2^x+1}>0\\ \\ x>0\\ \\ 2(2^x-1)>0\end{cases}

risolviamole separatamente, dopodiché intersecheremo gli insiemi soluzione. Partiamo dalla disequazione fratta

\frac{x}{2^x+1}>0

analizziamo il segno del numeratore e del denominatore

\\ N>0 \ : \ x>0 \\ \\ D>0 \ : \ 2^x+1>0 \ \ \ \mbox{per ogni}\ x

Dopo aver riportato la tabella dei segni, scopriamo che la disequazione è soddisfatta per ogni x>0.

La seconda disequazione del sistema è già pronta, ecco perché ci occuperemo della terza

2(2^x-1)>0 \ \ \ \to \ \ \ 2^x-1>0

Essa è una disequazione esponenziale, soddisfatta per x>0, infatti:

2^x-1>0 \ \ \ \to \ \ \ 2^x>1 \ \ \ \to \ \ \ x>0

Una volta determinati gli insiemi soluzioni di ciascuna relazione del sistema, dobbiamo intersecarle così da ricavare i vincoli cui deve sottostare l'incognita

C.E.: \ x>0

Torniamo a occuparci dell'equazione

\log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{x}{2^x+1}\right)=\log_{\frac{1}{4}}(x)-\log_{\frac{1}{4}}(2(2^x-1))

Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi, in particolare quella relativa alla differenza dei logaritmi, mediante la quale l'equazione diventa

\log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{x}{2^x+1}\right)=\log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{x}{2(2^x-1)}\right)

Poiché i logaritmi hanno la medesima base, possiamo uguagliare gli argomenti, ricavando l'equazione fratta

\frac{x}{2^x+1}=\frac{x}{2(2^x-1)}

Per calcolarne le soluzioni, moltiplichiamo i due membri per 2^x+1 e per 2(2^x-1)

x\cdot 2(2^x-1)=x(2^x+1)

Portiamo tutto al primo membro

x\cdot 2(2^x-1)-x(2^x+1)=0

raccogliamo totalmente x

x(2\cdot 2^x-2-2^x-1)=0

svolgiamo i calcoli all'interno delle parentesi tonde

x(2^x-3)=0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ 2^x-3=0

La prima uguaglianza fornisce un valore che non può essere accettato come soluzione dell'equazione iniziale, perché non viene rispettata la condizione di esistenza (x>0). Analizziamo la seconda

2^x-3=0 \ \ \ \to \ \ \ 2^x=3

Essa è un'equazione esponenziale la cui soluzione si ottiene applicando a destra e a sinistra dell'uguale il logaritmo in base 2

x=\log_{2}(3)

Tale valore soddisfa la condizione di esistenza ed è pertanto soluzione dell'equazione di partenza.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Possi23
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Os