Equazione con due valori assoluti e termine misto

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Equazione con due valori assoluti e termine misto #83444

avt
NikPuc
Punto
Mi è capitato un esercizio che mi chiede di calcolare le soluzioni di un'equazione con i moduli in uno dei quali compare un polinomio di secondo grado. Sinceramente non capisco quali errori faccio per questo vi chiedo gentilmente di scrivere tutti i passaggi se possibile.

Calcolare le soluzioni dell'equazione con i moduli

(x-1)|x-2|+|x^2-x|=0

Grazie.
 
 

Equazione con due valori assoluti e termine misto #83482

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione con i moduli

(x-1)|x-2|+|x^2-x|=0

e per raggiungerlo dobbiamo prima di tutto studiare i segni delle espressioni presenti all'interno dei due valori assoluti, mediante i quali individueremo gli intervalli su cui potremo eliminare tutti i valori assoluti in un colpo solo.

Procediamo con lo studio del segno di x-2 impostando la disequazione di primo grado

x-2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 2

Per quanto concerne lo studio del segno di x^2-x, bisogna impostare la disequazione di secondo grado

x^2-x\ge 0

Poiché le soluzioni dell'equazione associata sono x_1=0\ \mbox{e}\ x_2=1 e poiché la disequazione è soddisfatta per valori esterni, scriviamo l'insieme soluzione associato che è:

x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge 1

dove \vee è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "or".

Rappresentiamo la tabella dei segni

\begin{array}{c|ccccccccc}&&&0&&1&&2&&\\ \hline&&&&&&& \\ x-2&-&-&-&-&-&-&\bullet&+&+\\ &&&&&&\\ x^2-x&+&+&\bullet&-&\bullet&+&+&+&+\\ \\ \hline\end{array}

e leggiamola verticalmente ricavando così gli insiemi

x\le 0 , \ \ 0<x\le 1  , \ \  1<x\le 2  ,  \ \ x>2

Sotto ciascun vincolo, l'equazione di partenza può essere riscritta in forma equivalente senza che vi compaiono i valori assoluti. Più precisamente, se x\le 0, l'argomento di |x-2| è negativo mentre quello di |x^2-x| risulta positivo o al più nullo e in accordo con la definizione di valore assoluto sussistono le seguenti uguaglianze

\\ |x-2|=-x+2 \\ \\ |x^2-x|=x^2-x

mediante le quali possiamo riscrivere l'equazione nella forma

(x-1)(-x+2)+x^2-x=0

Per risolverla, possiamo raccogliere il fattore comune x negli ultimi due termini

(x-1)(-x+2)+x(x-1)=0

e raccogliere totalmente il fattore comune x-1

(x-1)[(-x+2)+x]=0 \ \ \ \to \ \ \ 2(x-1)=0

da cui otteniamo il valore x=1. Attenzione! Non è una soluzione accettabile per l'equazione data perché non rispetta la condizione x\le 0.

Se 0<x\le 1, il binomio x-2 è negativo, mentre x^2-x è negativo o al più nullo, pertanto sussistono le uguaglianze

\\ |x-2|=-x+2 \\ \\ |x^2-x|=-x^2+x

grazie alle quali l'equazione diventa

\\ (x-1)(-x+2)+(-x^2+x)=0 \\ \\ (x-1)(-x+2)-x^2+x=0

Procediamo alla stessa maniera del caso precedente: raccogliamo -x negli ultimi due addendi

(x-1)(-x+2)-x(x-1)=0

dopodiché mettiamo in evidenza il fattore comune x-1

(x-1)[(-x+2)-x]=0

da cui, sommati i monomi simili all'interno delle parentesi quadre

(x-1)(-2x+2)=0

Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Scriviamo quindi le due equazioni di primo grado

x-1=0 \ \ \ ,  \ \ \  -2x+2=0

le quali sono soddisfatte per x=1: tale valore rappresenta una soluzione dell'equazione di partenza perché sottostà al vincolo 0<x\le 1.

Occupiamoci del caso

1<x\le 2

osservando che sotto tale vincolo il binomio x-2 è negativo o al più nullo, mentre x^2-x è positivo, dunque la definizione di valore assoluto garantisce le uguaglianze

\\ |x-2|=-x+2 \\ \\ |x^2-x|=x^2-x

mediante le quali possiamo rivedere l'equazione di partenza come

\\ (x-1)(-x+2)+x^2-x=0 \\ \\ (x-1)(-x+2)+x(x-1)=0 \\ \\ (x-1)(-x+2+x)=0 \\ \\ 2(x-1)=0

da cui otteniamo il valore x=1 che però non è soluzione accettabile perché viola la condizione

1<x\le 2

Analizziamo infine l'ultimo caso, ossia

x>2

Sotto questa condizione, x-2 è positivo così come è positiva l'espressione x^2-x, di conseguenza sussistono le uguaglianze

\\ |x-2|=x-2 \\ \\ |x^2-x|=x^2-x

e l'equazione diventa

(x-1)(-x+2)+x^2-x=0

Procedendo alla stessa maniera dei casi precedenti, scriviamo

\\ (x-1)(-x+2)+x(x-1)=0 \\ \\ (x-1)(-x+2+x)=0 \\ \\ 2(x-1)=0

Da questa equazione ricaviamo ancora una volta il valore x=1 che però non rispetta il vincolo x>2 e per questo non è soluzione dell'equazione iniziale.

Riassumendo:

- se x\le 0, abbiamo ottenuto il valore x=1 che però non è accettabile;

- se 0<x\le 1, abbiamo ottenuto il valore x=1 che è soluzione perché rispetta il vincolo;

- se 1<x\le 2, abbiamo ottenuto il valore x=1 non accettabile;

- se x>2, abbiamo ricavato ancora una volta x=1 che non è accettabile.

Possiamo concludere che

(x-1)|x-2|+|x^2-x|=0

ha per soluzione x=1, pertanto è determinata e il suo insieme soluzione è

S=\{1\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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Os