Equazione con due valori assoluti e termine misto

Mi è capitato un esercizio che mi chiede di calcolare le soluzioni di un'equazione con i moduli in uno dei quali compare un polinomio di secondo grado. Sinceramente non capisco quali errori faccio per questo vi chiedo gentilmente di scrivere tutti i passaggi se possibile.

Calcolare le soluzioni dell'equazione con i moduli



Grazie.

Il nostro obiettivo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione con i moduli



e per raggiungerlo dobbiamo prima di tutto studiare i segni delle espressioni presenti all'interno dei due valori assoluti, mediante i quali individueremo gli intervalli su cui potremo eliminare tutti i valori assoluti in un colpo solo.

Procediamo con lo studio del segno di impostando la disequazione di primo grado



Per quanto concerne lo studio del segno di , bisogna impostare la disequazione di secondo grado



Poiché le soluzioni dell'equazione associata sono e poiché la disequazione è soddisfatta per valori esterni, scriviamo l'insieme soluzione associato che è:



dove è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "or".

Rappresentiamo la tabella dei segni



e leggiamola verticalmente ricavando così gli insiemi



Sotto ciascun vincolo, l'equazione di partenza può essere riscritta in forma equivalente senza che vi compaiono i valori assoluti. Più precisamente, se , l'argomento di è negativo mentre quello di risulta positivo o al più nullo e in accordo con la definizione di valore assoluto sussistono le seguenti uguaglianze



mediante le quali possiamo riscrivere l'equazione nella forma



Per risolverla, possiamo raccogliere il fattore comune negli ultimi due termini



e raccogliere totalmente il fattore comune



da cui otteniamo il valore . Attenzione! Non è una soluzione accettabile per l'equazione data perché non rispetta la condizione .

Se , il binomio è negativo, mentre è negativo o al più nullo, pertanto sussistono le uguaglianze



grazie alle quali l'equazione diventa



Procediamo alla stessa maniera del caso precedente: raccogliamo negli ultimi due addendi



dopodiché mettiamo in evidenza il fattore comune



da cui, sommati i monomi simili all'interno delle parentesi quadre



Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Scriviamo quindi le due equazioni di primo grado



le quali sono soddisfatte per : tale valore rappresenta una soluzione dell'equazione di partenza perché sottostà al vincolo .

Occupiamoci del caso



osservando che sotto tale vincolo il binomio è negativo o al più nullo, mentre è positivo, dunque la definizione di valore assoluto garantisce le uguaglianze



mediante le quali possiamo rivedere l'equazione di partenza come



da cui otteniamo il valore che però non è soluzione accettabile perché viola la condizione



Analizziamo infine l'ultimo caso, ossia



Sotto questa condizione, è positivo così come è positiva l'espressione , di conseguenza sussistono le uguaglianze



e l'equazione diventa



Procedendo alla stessa maniera dei casi precedenti, scriviamo



Da questa equazione ricaviamo ancora una volta il valore che però non rispetta il vincolo e per questo non è soluzione dell'equazione iniziale.

Riassumendo:

- se , abbiamo ottenuto il valore che però non è accettabile;

- se , abbiamo ottenuto il valore che è soluzione perché rispetta il vincolo;

- se , abbiamo ottenuto il valore non accettabile;

- se , abbiamo ricavato ancora una volta che non è accettabile.

Possiamo concludere che



ha per soluzione , pertanto è determinata e il suo insieme soluzione è



Abbiamo finito.