Equazione con due valori assoluti e termine misto

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Equazione con due valori assoluti e termine misto #83444

avt
NikPuc
Punto
Mi è capitato un esercizio che mi chiede di calcolare le soluzioni di un'equazione con i moduli in uno dei quali compare un polinomio di secondo grado. Sinceramente non capisco quali errori faccio per questo vi chiedo gentilmente di scrivere tutti i passaggi se possibile.

Calcolare le soluzioni dell'equazione con i moduli

(x-1)|x-2|+|x^2-x| = 0

Grazie.
 
 

Equazione con due valori assoluti e termine misto #83482

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione con i moduli

(x-1)|x-2|+|x^2-x| = 0

e per raggiungerlo dobbiamo prima di tutto studiare i segni delle espressioni presenti all'interno dei due valori assoluti, mediante i quali individueremo gli intervalli su cui potremo eliminare tutti i valori assoluti in un colpo solo.

Procediamo con lo studio del segno di x-2 impostando la disequazione di primo grado

x-2 ≥ 0 → x ≥ 2

Per quanto concerne lo studio del segno di x^2-x, bisogna impostare la disequazione di secondo grado

x^2-x ≥ 0

Poiché le soluzioni dell'equazione associata sono x_1 = 0 e x_2 = 1 e poiché la disequazione è soddisfatta per valori esterni, scriviamo l'insieme soluzione associato che è:

x ≤ 0 ∨ x ≥ 1

dove ∨ è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "or".

Rappresentiamo la tabella dei segni

beginarrayc|ccccccccc 0 1 2 ; hline ; x-2 - - - - - - • + +; ; x^2-x + + • - • + + + +; hline endarray

e leggiamola verticalmente ricavando così gli insiemi

x ≤ 0 , 0 < x ≤ 1 , 1 < x ≤ 2 , x > 2

Sotto ciascun vincolo, l'equazione di partenza può essere riscritta in forma equivalente senza che vi compaiono i valori assoluti. Più precisamente, se x ≤ 0, l'argomento di |x-2| è negativo mentre quello di |x^2-x| risulta positivo o al più nullo e in accordo con la definizione di valore assoluto sussistono le seguenti uguaglianze

 |x-2| = -x+2 ; |x^2-x| = x^2-x

mediante le quali possiamo riscrivere l'equazione nella forma

(x-1)(-x+2)+x^2-x = 0

Per risolverla, possiamo raccogliere il fattore comune x negli ultimi due termini

(x-1)(-x+2)+x(x-1) = 0

e raccogliere totalmente il fattore comune x-1

(x-1)[(-x+2)+x] = 0 → 2(x-1) = 0

da cui otteniamo il valore x = 1. Attenzione! Non è una soluzione accettabile per l'equazione data perché non rispetta la condizione x ≤ 0.

Se 0 < x ≤ 1, il binomio x-2 è negativo, mentre x^2-x è negativo o al più nullo, pertanto sussistono le uguaglianze

 |x-2| = -x+2 ; |x^2-x| = -x^2+x

grazie alle quali l'equazione diventa

 (x-1)(-x+2)+(-x^2+x) = 0 ; (x-1)(-x+2)-x^2+x = 0

Procediamo alla stessa maniera del caso precedente: raccogliamo -x negli ultimi due addendi

(x-1)(-x+2)-x(x-1) = 0

dopodiché mettiamo in evidenza il fattore comune x-1

(x-1)[(-x+2)-x] = 0

da cui, sommati i monomi simili all'interno delle parentesi quadre

(x-1)(-2x+2) = 0

Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Scriviamo quindi le due equazioni di primo grado

x-1 = 0 , -2x+2 = 0

le quali sono soddisfatte per x = 1: tale valore rappresenta una soluzione dell'equazione di partenza perché sottostà al vincolo 0 < x ≤ 1.

Occupiamoci del caso

1 < x ≤ 2

osservando che sotto tale vincolo il binomio x-2 è negativo o al più nullo, mentre x^2-x è positivo, dunque la definizione di valore assoluto garantisce le uguaglianze

 |x-2| = -x+2 ; |x^2-x| = x^2-x

mediante le quali possiamo rivedere l'equazione di partenza come

 (x-1)(-x+2)+x^2-x = 0 ; (x-1)(-x+2)+x(x-1) = 0 ; (x-1)(-x+2+x) = 0 ; 2(x-1) = 0

da cui otteniamo il valore x = 1 che però non è soluzione accettabile perché viola la condizione

1 < x ≤ 2

Analizziamo infine l'ultimo caso, ossia

x > 2

Sotto questa condizione, x-2 è positivo così come è positiva l'espressione x^2-x, di conseguenza sussistono le uguaglianze

 |x-2| = x-2 ; |x^2-x| = x^2-x

e l'equazione diventa

(x-1)(-x+2)+x^2-x = 0

Procedendo alla stessa maniera dei casi precedenti, scriviamo

 (x-1)(-x+2)+x(x-1) = 0 ; (x-1)(-x+2+x) = 0 ; 2(x-1) = 0

Da questa equazione ricaviamo ancora una volta il valore x = 1 che però non rispetta il vincolo x > 2 e per questo non è soluzione dell'equazione iniziale.

Riassumendo:

- se x ≤ 0, abbiamo ottenuto il valore x = 1 che però non è accettabile;

- se 0 < x ≤ 1, abbiamo ottenuto il valore x = 1 che è soluzione perché rispetta il vincolo;

- se 1 < x ≤ 2, abbiamo ottenuto il valore x = 1 non accettabile;

- se x > 2, abbiamo ricavato ancora una volta x = 1 che non è accettabile.

Possiamo concludere che

(x-1)|x-2|+|x^2-x| = 0

ha per soluzione x = 1, pertanto è determinata e il suo insieme soluzione è

S = 1

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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