Esercizio equazione di primo grado fratta con le radici

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Esercizio equazione di primo grado fratta con le radici #8341

avt
sarita
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni fratte di primo grado con i radicali che non riesco a risolvere. Probabilmente sbaglio ad applicare le proprietà delle radici, ecco perché ho bisogno di voi.

Dimostrare che la seguente equazione fratta di primo grado è indeterminata

\frac{1}{2\sqrt{2}+x}+\frac{4\sqrt{2}}{x^2-8}-\frac{1}{x-2\sqrt{2}}=0
 
 

Esercizio equazione di primo grado fratta con le radici #8370

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nel dimostrare che l'equazione fratta di primo grado

\frac{1}{2\sqrt{2}+x}+\frac{4\sqrt{2}}{x^2-8}-\frac{1}{x-2\sqrt{2}}=0

è indeterminata, ossia ammette infinite soluzioni. Per prima cosa scomponiamo il secondo denominatore osservando che è una differenza di quadrati

x^2-8=(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8})=(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})

dove nell'ultimo passaggio abbiamo espresso il radicale \sqrt{8} in forma normale

Siamo autorizzati quindi a riscrivere l'equazione nella forma

\frac{1}{2\sqrt{2}+x}+\frac{4\sqrt{2}}{(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})}-\frac{1}{x-2\sqrt{2}}=0

Il prossimo passaggio consiste nell'esplicitare le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero.

Per quanto concerne la non nullità del primo denominatore:

2\sqrt{2}+x\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -2\sqrt{2}

Il secondo richiede qualche attenzione in più perché interviene la legge di annullamento del prodotto

 (x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})\ne 0

da cui

x-2\sqrt{2}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 2\sqrt{2}

e

x+2\sqrt{2}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -2\sqrt{2}

L'ultimo denominatore è diverso da zero se e solo se sussiste la disuguaglianza

x-2\sqrt{2}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 2\sqrt{2}

In definitiva, il C.E. è:

C.E.:\ x\ne-2\sqrt{2}\ \wedge\ x\ne 2\sqrt{2}

Ora che abbiamo imposto le condizioni di esistenza, possiamo procedere con la risoluzione dell'equazione calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore che (x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}).

\frac{x-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-(x+2\sqrt{2})}{(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})}=0

Sotto i vincoli dettati dal C.E., usufruiamo dei principi di equivalenza, in particolare il secondo, così da ricavare l'equazione equivalente

x-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-(x+2\sqrt{2})=0

Grazie alla regola dei segni riportiamo l'equazione nella seguente forma

x-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-x-2\sqrt{2}=0

Sommiamo infine i termini simili, così da ricavare l'identità

0=0

Possiamo pertanto concludere che l'equazione è indeterminata ed è soddisfatta per ogni x\ne\pm 2\sqrt{2}, per via del C.E.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os