Polinomio con 3 lettere da scomporre con cubo del binomio

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Polinomio con 3 lettere da scomporre con cubo del binomio #83073

avt
Zoolander
Punto
Mi serve una mano per trasformare un quadrinomio nel cubo di un binomio. Non ho avuto grosse difficoltà negli esercizi precedenti, ma qui non capisco quali possano essere i due cubi.

Scomporre il seguente polinomio con la regola sul cubo di un binomio:

3ab^3c^2-1+a^3b^9 c^6-3a^2b^6c^4

Grazie.
 
 

Polinomio con 3 lettere da scomporre con cubo del binomio #83074

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

3ab^3c^2-1+a^3b^9 c^6-3a^2b^6c^4

usando la regola sul cubo di un binomio:

A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=(A+B)^3

Per poter applicare il prodotto notevole, bisogna innanzitutto ordinare il polinomio secondo le potenze crescenti (o decrescenti) di una lettera, ad esempio a:

-1+3ab^3c^2-3a^2b^6c^4+a^3b^9c^6

dopodiché è necessario individuare i due monomi che sono effettivamente cubi perfetti. Nel nostro caso, i cubi perfetti sono:

- il termine -1, infatti è il cubo di se stesso:

(-1)^{3}=-1

- il termine a^3b^9c^6, la cui base è ab^3c^2, infatti le proprietà delle potenze consentono di effettuare i seguenti passaggi:

a^3b^9c^6=a^3\cdot b^{3\cdot 3}\cdot c^{2\cdot3}=a^3\cdot (b^{3})^3\cdot (c^2)^3=(ab^3c^2)^3

Ora che abbiamo individuato le basi dei due cubi, ossia

-1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ ab^3c^2

bisogna verificare che i restanti termini del quadrinomio siano effettivamente uguali ai tripli prodotti. Calcoliamo:

- il triplo prodotto tra il quadrato della prima base per la seconda

3\cdot (-1)^2 ab^3c^2=3ab^3c^2

- il triplo prodotto tra la prima base e il quadrato della seconda, sfruttando come si deve la regola sulla potenza di una potenza

3\cdot (-1)\cdot (ab^3c^2)^2=-3a^2b^{3\cdot 2}c^{2\cdot 2}=-3a^2b^6c^4

I tripli prodotti coincidono con i termini del quadrinomio, pertanto possiamo affermare che il polinomio iniziale coincide con il cubo di -1+ab^3c^2 e scrivere la scomposizione:

3ab^3c^2-1+a^3b^9 c^6-3a^2b^6c^4=(-1+ab^3c^2)^3

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, Zoolander
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Os