Equazione irrazionale con radice di indice 4

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Equazione irrazionale con radice di indice 4 #82955

avt
Annalisa65
Genitore
Avrei bisogno del vostro intervento per calcolare l'insieme delle soluzioni di un'equazione irrazionale in cui si presenta una radice con indice pari. So che dovrei impostare le condizioni di esistenza, però i risultati che ottengo sono diversi da quelli proposti dal libro.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione irrazionale

x+\sqrt[4]{x^4-4x^3+6x^2+1}-1=0

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con radice di indice 4 #82961

avt
Pi Greco
Kraken
Prima di avventurarci nei calcoli, è opportuno analizzare a dovere come si presenta l'equazione irrazionale ed elencare le caratteristiche della stessa.

Innanzitutto

x+\sqrt[4]{x^4-4x^3+6x^2+1}-1=0

non è espressa in forma normale, però non è affatto difficile riscriverla a "modello": è sufficiente isolare il radicale al primo membro e scrivere

\sqrt[4]{x^4-4x^3+6x^2+1}=1-x

Poiché l'indice della radice è pari, l'equazione è ben posta nel momento in cui il radicando è maggiore o al più uguale a zero, ecco perché dobbiamo imporre la condizione di esistenza

C.E.:\ x^4-4x^3+6x^2+1\ge0

Purtroppo ci siamo ricondotti a una disequazione di grado superiore al secondo che non può essere risolta elementarmente, però ci permetterà comunque di escludere i valori che non sono soluzione.

Oltre alla condizione di esistenza, dobbiamo imporre la condizione di concordanza: poiché la radice con indice pari è certamente positiva o nulla nel suo insieme di esistenza, dev'essere tale anche il secondo membro, altrimenti l'uguaglianza non può sussistere.

In questo caso, la condizione di concordanza si traduce nella seguente disequazione di primo grado

C.C:\ 1-x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le 1

Affinché un valore sia soluzione dell'equazione irrazionale, esso dovrà soddisfare contemporaneamente sia la condizione di concordanza, sia la condizione di esistenza, in caso contrario dovrà essere scartato.

Torniamo all'equazione ed eleviamo alla quarta i due membri, così facendo infatti la radice può essere bellamente cancellata

x^4-4x^3+6x^2+1=(1-x)^4

Sviluppiamo la potenza quarta di binomio utilizzando a dovere il triangolo di Tartaglia e riscriviamo l'equazione come segue

x^4-4x^3+6x^2+1=1-4x+6x^2-4x^3+x^4

Trasportiamo tutti i termini al primo membro e sommiamo tra loro i monomi simili

4x=0

riconducendoci quindi a un'equazione di primo grado soddisfatta per x=0.

Per essere soluzione dell'equazione irrazionale, x=0 deve soddisfare contemporaneamente sia la condizione di esistenza, sia la condizione di concordanza.

Per verificare la condizione di esistenza, è sufficiente che x=0 realizzi la disequazione

x^4-4x^3+6x^2+1\ge 0

Sostituiamo quindi a ogni occorrenza di x nella disequazione e controlliamo che sia vera la disuguaglianza

0^4-4\cdot 0^3+6\cdot 0^2+1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 1\ge 0

Deduciamo quindi che le C.E. sono soddisfatte.

Le condizioni di concordanza x\le 1 è chiaramente soddisfatta da x=0 per cui possiamo concludere che esso è soluzione dell'equazione irrazionale.

Riassumendo: l'equazione

x+\sqrt[4]{x^4-4x^3+6x^2+1}-1=0

è determinata ed è soddisfatta per x=0, per cui l'insieme soluzione è

S=\{0\}

Ecco fatto.
Ringraziano: CarFaby
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Os