Razionalizzazione con differenza di radicali al denominatore

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Razionalizzazione con differenza di radicali al denominatore #8270

avt
Lucabig
Frattale
Ciao ragazzi,
ho completato quasi tutti gli esercizi sul libro inerenti alla razionalizzazione. La maggior parte mi sono venuti tranne 2. Come previsto da regolamento ne posso postare solo 1. Magari aspetto una vostra risposta riguardo alla procedura di questo esercizio, se dopo riesco a fare il secondo bene, altrimenti apro un'ulteriore discussione.

Il primo esercizio:

\frac{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}}{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}

Si utilizza sicuramente il secondo caso di razionalizzazione, ovvero somma per differenza, però andando a fare i prodotti mi viene un numero negativo e non saprei continuare, Grazie.
 
 

Razionalizzazione con differenza di radicali al denominatore #8276

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao lucabig emt

Secondo me hai trovato la strada corretta, bisogna moltiplicare e dividere per 2\sqrt{5}+5\sqrt{2}

Vediamo come procedere:

\frac{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}\cdot \frac{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}=

Al numeratore abbiamo:

(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})=(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})^2

Utilizziamo la regola del quadrato di binomio per risolverlo, cioè:

(A+B )^2= A^2+B^2+2AB

Applicando questa regola:

(2\sqrt{5}+5\sqrt{5})^2= (2\sqrt{5})^2+(5\sqrt{2})^2+2(2\sqrt{5}\cdot 5\sqrt{2})=

4\cdot 5+25\cdot 2+20\sqrt{5\cdot 2}=

=20+50+20\sqrt{10}= 70+20\sqrt{10}=

10(7+2\sqrt{10})


Al denominatore abbiamo:

(2\sqrt{5}-5\sqrt{2})(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})

In questo caso interviene la regola della somma per differenza di due monomi:

(A+B )(A-B )= A^2-B^2

Applichiamola!!

(2\sqrt{5}-5\sqrt{2})(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})= (2\sqrt{5})^2-(5\sqrt{2})^2=

4\cdot 5-25\cdot 2= 20-50= -30

Mettendo insieme:

\frac{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}\cdot \frac{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}=

\frac{10(7+2\sqrt{10})}{-30}= -\frac{7+2\sqrt{10}}{3}

Se hai domande sono a tua disposizione emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Lucabig

Razionalizzazione con differenza di radicali al denominatore #8278

avt
Lucabig
Frattale
Caspiterina emt ... si effettuava il quadrato di binomio, tutto chiaro emt
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Os