Equazione logaritmica con base fratta

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Equazione logaritmica con base fratta #82693

avt
AntonioD
Frattale
Nello svolgere gli esercizi sulle equazioni logaritmiche, me n'è capitato uno in cui l'incognita compare alla base del logaritmo. Non ho mai fatto esercizi del genere e non so come risolverlo.

Risolvere la seguente equazione logaritmica dopo aver imposto le dovute condizioni di esistenza.

\log_{\frac{x}{x+1}}(-x)=2

Grazie.
 
 

Equazione logaritmica con base fratta #82714

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio prevede di determinare i valori di x che soddisfano l'equazione logaritmica

\log_{\frac{x}{x+1}}(-x)=2

ma prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, imponiamo le opportune condizioni di esistenza. Affinché il logaritmo sia ben posto dobbiamo richiedere che la sua base sia positiva e diversa da zero, così come dobbiamo pretendere che il suo argomento sia maggiore di zero. Si noti che tali vincoli devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiscono il seguente sistema di disequazioni

\begin{cases}\frac{x}{x+1}>0\\ \\ \frac{x}{x+1}\ne 1 \\ \\ -x>0\end{cases}

Calcoliamo le soluzioni di ciascuna disequazione, partendo dalla prima.

\frac{x}{x+1}>0

è una disequazione fratta, il cui insieme insieme soluzione si ricava analizzando il segno del numeratore e del denominatore

\\ N>0 \ : \ x>0 \\ \\ D>0 \ : \ x+1>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-1

Dopo aver impostato la tabella dei segni e considerati gli insiemi in cui il prodotto dei segni è positivo, scopriamo che l'insieme soluzione della disequazione fratta è:

S_1\ : \ x<-1 \ \ \ \vee \ \ \ x>0

Occupiamoci della seconda relazione

\frac{x}{x+1}\ne 1

trattandola come se fosse un'equazione fratta. Per x\ne -1, moltiplichiamo i due membri per x+1 così da ricavare:

x\ne (x+1) \ \ \ \to \ \ \ 0\ne 1

Tale relazione è sempre vera, indipendentemente dal valore assunto da x purché l'incognita sia diverso da zero:

S_2 \ : \ x\ne -1

L'ultima disequazione del sistema è molto semplice da risolvere

-x>0 \ \ \ \to \ \ \ S_3 \ : \ x<0

Intersecando i tre insiemi, scopriamo che la soluzione del sistema, e dunque la condizione di esistenza cui devono sottostare le soluzioni, è:

C.E.: \ x<-1

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo dedicarci all'equazione:

\log_{\frac{x}{x+1}}(-x)=2

Usiamo la regola del cambiamento di base per esprimere il logaritmo al primo membro in base e, cosicché l'equazione diventi

\frac{\ln\left(-x\right)}{\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)}=2

Moltiplichiamo i due membri per \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)

\ln(-x)=2\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)

e infine usiamo le proprietà dei logaritmi, in particolare la regola dell'esponente, per ricondurre l'equazione in forma normale

\ln(-x)=\ln\left[\left(\frac{x}{x+1}\right)^2\right]

Ci siamo ricondotti a un'uguaglianza di logaritmi che hanno la medesima base, per cui possiamo uguagliare gli argomenti

-x=\left(\frac{x}{x+1}\right)^2

Per poter risolvere l'equazione ottenuta, usiamo proprietà delle potenze, distribuendo l'esponente al numeratore e al denominatore

-x=\frac{x^2}{(x+1)^2}

A questo punto, trasportiamo i termini al primo membro

-x-\frac{x^2}{(x+1)^2}=0

portiamo a denominatore comune

\frac{-x(x+1)^2-x^2}{(x+1)^2}=0

e moltiplichiamo i due membri per (x+1)^2

-x(x+1)^2-x^2=0

Mettiamo in evidenza x

x[-(x+1)^2-x]=0

sviluppiamo il quadrato di binomio all'interno delle parentesi quadre e infine sommiamo i termini simili

\\ x[-(x^2+2x+1)-x]=0 \\ \\ x[-x^2-2x-1-x]=0 \\ \\ x[-x^2-3x-1]=0

Sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, così da ricavare le seguenti relazioni

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ -x^2-3x-1=0

La prima è pressoché svolta e fornisce il primo valore, che però non è una soluzione accettabile perché non rispetta la condizione di esistenza x<-1.

La seconda

-x^2-3x-1=0

è un'equazione di secondo grado: calcoliamone il discriminante

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot(-1)=9-4=5

e infine le soluzioni con la formula

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{-2}=\\ \\ \\ =-\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}=\begin{cases}-\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}=x_1\\ \\ -\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}=x_2\end{cases}

Dei due valori, solo x_1 è soluzione accettabile dell'equazione iniziale perché soddisfa la condizione di esistenza.

Concludiamo pertanto che l'equazione

\log_{\frac{x}{x+1}}(-x)=2

è soddisfatta per x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}.

Abbiamo finito.
Ringraziano: AntonioD
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