Equazione irrazionale con radice di indice 3

Riscontro alcune perplessità nella risoluzione di un'equazione irrazionale in cui compare una radice con indice dispari (è una radice cubica). Credo che il mio problema sia di tipo algebrico perché la soluzione che ottengo è completamente diversa da quella proposta.

Risolvere la seguente equazione irrazionale ed esplicitare l'insieme delle sue soluzioni



Grazie.

Prima di risolvere l'equazione irrazionale



bisogna innanzitutto effettuare alcune osservazioni preliminari. L'equazione non si presenta nella forma normale, infatti il radicale non è isolato al primo membro. Inoltre compare una radice con indice dispari, e questo è un bene perché non dovremo imporre alcun vincolo sull'incognita, a differenza di quanto succede nelle equazioni con le radici con indice pari.

Dopo questo preambolo, scriviamo l'equazione nella forma canonica: basterà isolare il termine irrazionale al primo membro, trasportando tutti gli altri termini al secondo



e cambiando i segni ai due membri



Ora che l'equazione è in forma canonica, ci sbarazziamo della radice cubica elevando al cubo sia a sinistra che a destra



da cui



Sviluppiamo il cubo di binomio al secondo membro



e trasportiamo i termini a sinistra cambiandone il segno



Una volta sommati tra loro i monomi simili, ci riduciamo a un'equazione di secondo grado



Chiamiamo rispettivamente il coefficiente di , il coefficiente di e il termine noto



e calcoliamo il discriminante associato mediante la relazione



La nullità del discriminante garantisce che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e coincidenti, ricavabili con la formula



Proprio perché non ci sono vincoli, il valore ottenuto è a tutti gli effetti soluzione dell'equazione irrazionale, pertanto possiamo affermare che l'insieme soluzione è:



Abbiamo finito.