Equazione irrazionale con radice di indice 3

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Equazione irrazionale con radice di indice 3 #82598

avt
xshadow
Cerchio
Riscontro alcune perplessità nella risoluzione di un'equazione irrazionale in cui compare una radice con indice dispari (è una radice cubica). Credo che il mio problema sia di tipo algebrico perché la soluzione che ottengo è completamente diversa da quella proposta.

Risolvere la seguente equazione irrazionale ed esplicitare l'insieme delle sue soluzioni

2x-\sqrt[3]{4x^2+8x^3-2x}=1

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con radice di indice 3 #82600

avt
Pi Greco
Kraken
Prima di risolvere l'equazione irrazionale

2x-\sqrt[3]{4x^2+8x^3-2x}=1

bisogna innanzitutto effettuare alcune osservazioni preliminari. L'equazione non si presenta nella forma normale, infatti il radicale non è isolato al primo membro. Inoltre compare una radice con indice dispari, e questo è un bene perché non dovremo imporre alcun vincolo sull'incognita, a differenza di quanto succede nelle equazioni con le radici con indice pari.

Dopo questo preambolo, scriviamo l'equazione nella forma canonica: basterà isolare il termine irrazionale al primo membro, trasportando tutti gli altri termini al secondo

-\sqrt[3]{4x^2+8x^3-2x}=-2x+1

e cambiando i segni ai due membri

\sqrt[3]{4x^2+8x^3-2x}=2x-1

Ora che l'equazione è in forma canonica, ci sbarazziamo della radice cubica elevando al cubo sia a sinistra che a destra

(\sqrt[3]{4x^2+8x^3-2x})^3=(2x-1)^3

da cui

4x^2+8x^3-2x=(2x-1)^3

Sviluppiamo il cubo di binomio al secondo membro

4x^2+8x^3-2x=8x^3-12x^2+6x-1

e trasportiamo i termini a sinistra cambiandone il segno

4x^2+8x^3-2x-8x^3+12x^2-6x+1=0

Una volta sommati tra loro i monomi simili, ci riduciamo a un'equazione di secondo grado

16x^2-8x+1=0

Chiamiamo a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto

a=16 \ \ \ ,\  \ \ b=-8 \ \ \ , \ \ \ c=1

e calcoliamo il discriminante associato mediante la relazione

\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot 16\cdot 1=0

La nullità del discriminante garantisce che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e coincidenti, ricavabili con la formula

x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 16}=\frac{1}{4}

Proprio perché non ci sono vincoli, il valore ottenuto è a tutti gli effetti soluzione dell'equazione irrazionale, pertanto possiamo affermare che l'insieme soluzione è:

S=\left\{\frac{1}{4}\right\}

Abbiamo finito.
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Os