Scomposizione con esponenti letterali e regola del cubo di binomio

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Scomposizione con esponenti letterali e regola del cubo di binomio #82544

avt
ituxbag
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per scomporre un polinomio a esponenti letterali mediante i prodotti notevoli, in particolare usando la regola sul cubo di un binomio.

Scrivere il seguente polinomio come prodotto di fattori irriducibili:

a^{3m}-3a^{2m}+3a^m-1

al variare di m nell'insieme dei numeri naturali.

Grazie.
 
 

Scomposizione con esponenti letterali e regola del cubo di binomio #82546

avt
Omega
Amministratore
La strategia per scomporre il polinomio

a^{3m}-3a^{2m}+3a^m-1

dove m è un numero naturale, consiste nell'usare le proprietà delle potenze così da poter ricondurci alla regola sul cubo di un binomio:

A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=(A+B)^3

In virtù della regola sulla potenza di una potenza, siamo in grado di esprimere i primi due termini del polinomio come segue:

\\ a^{3m}=a^{3\cdot m}=(a^m)^3\\ \\ \mbox{e} \\ \\ a^{2m}=a^{2\cdot m}=(a^m)^2

pertanto

\\ a^{3m}-3a^{2m}+3a^m-1= \\ \\ = (a^m)^3-3(a^m)^2+3a^m-1=

Per sfruttare la regola relativa al cubo di binomio, bisogna capire quali sono i cubi perfetti e ricavare le loro basi. Nel caso considerato

(a^m)^3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -1

sono i cubi e le loro basi sono rispettivamente

a^m \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -1

Non abbiamo ancora finito! Abbiamo la necessità di verificare che i restanti termini del quadrinomio siano effettivamente i tripli prodotti.

Il termine -3a^{2m} rappresenta il triplo prodotto tra il quadrato della prima base e la seconda, infatti:

3\cdot (a^m)^2\cdot (-1)=-3a^{2\cdot m}=-3a^{2m}

mentre 3a^m rappresenta il triplo prodotto tra la base del primo termine e il quadrato della base del secondo, infatti:

3\cdot (a^m)\cdot (-1)^2=3\cdot a^{m}\cdot 1=3a^m

Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di affermare che il polinomio dato è il cubo di a^m-1, ossia:

a^{3m}-3a^{2m}+3a^m-1=(a^m-1)^3

Abbiamo finito.
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