Esercizio: semplificare un polinomio con regole specifiche

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Esercizio: semplificare un polinomio con regole specifiche #8244

avt
904
Sfera
Ho bisogno di una mano per ridurre un'espressione algebrica sfruttando la regola sulla somma di cubi e quella sulla differenza.

Mediante le regole sulla somma e differenza di cubi semplificare la seguente espressione

(1-2x)^3+x^3-8\left[(x-1)^3-\frac{1}{8}(1+2x)^3\right]
 
 

Esercizio: semplificare un polinomio con regole specifiche #8250

avt
Omega
Amministratore
Dobbiamo semplificare il più possibile l'espressione algebrica

(1-2x)^3+x^3-8\left[(x-1)^3-\frac{1}{8}(1+2x)^3\right]

utilizzando la regola di scomposizione di una somma di cubi

A^3+B^3=(A+B)(A^2+AB+B^2)

e quella relativa alla differenza di cubi

A^3-B^3=(A-B)(A^2-AB+B^2)

dove con A \ \mbox{e} \ B indichiamo le basi delle potenze terze

In accordo con la regola sulla somma di cubi, possiamo scomporre (1-2x)^3+x^3 osservando che le basi delle potenze terze sono 1-2x\ \mbox{e} \ x

\\ (1-2x)^3+x^3-8\left[(x-1)^3-\frac{1}{8}(1+2x)^3\right]= \\ \\ \\ =((1-2x)+x)\left((1-2x)^2-(1-2x)\cdot x+x^2\right)-8\left[(x-1)^3-\frac{1}{8}(1+2x)^3\right]=

Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo tra loro i termini simili

\\ =(1-x)(1+4x^2-4x-x+2x^2+x^2)-8\left[(x-1)^3-\frac{1}{8}(1+2x)^3\right]= \\ \\ \\ =(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[(x-1)^3-\frac{1}{8}(1+2x)^3\right]=(\bullet)

Dedichiamoci al calcolo della differenza di cubi presente all'interno delle parentesi quadre. In accordo con le proprietà delle potenze il termine \frac{1}{8}(1+2x)^3 si esprime come il cubo di \frac{1+2x}{3}, infatti

\frac{1}{8}(1+2x)^3=\frac{1}{2^3}(1+2x)^3=\left(\frac{1+2x}{2}\right)^3

pertanto, l'espressione si riscrive nella forma equivalente

(\bullet)=(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[\left(x-1-\frac{1+2x}{2}\right)\left((x-1)^2+(x-1)\cdot\frac{1+2x}{3}+\left(\frac{1+2x}{2}\right)^2\right)\right]=

Sviluppiamo i quadrati dei binomi presenti, eseguiamo il prodotto e, in contemporanea, sommiamo tra loro i termini simili

\\ =(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[\frac{2x-2-1-2x}{2}\cdot\left(x^2-2x+1+\frac{(x-1)(1+2x)}{2}+\left(\frac{1+2x}{2}\right)^2\right)\right]= \\ \\ \\ =(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[-\frac{3}{2}\cdot\left(x^2-2x+1+\frac{x+2x^2-1-2x}{2}+\frac{1+4x^2+4x}{4}\right)\right]= \\ \\ \\ =(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[-\frac{3}{2}\cdot\left(x^2-2x+1+\frac{2x^2-x-1}{2}+\frac{1+4x^2+4x}{4}\right)\right]=

Portiamo il tutto a denominatore comune e sommiamo i termini simili

\\ =(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[-\frac{3}{2}\cdot\left(x^2-2x+1+\frac{2x^2-x-1}{2}+\frac{1+4x^2+4x}{4}\right)\right]= \\ \\ \\ =(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[-\frac{3}{2}\left(\frac{4(x^2-2x+1)+2(2x^2-x-1)+1+4x^2+4x}{4}\right)\right]= \\ \\ \\ =(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[-\frac{3}{2}\left(\frac{4x^2-8x+4+4x^2-2x-2+1+4x^2+4x}{4}\right)\right]= \\ \\ \\ =(1-x)(1-5x+7x^2)-8\left[-\frac{3}{2}\left(\frac{3-6x+12x^2}{4}\right)\right]=

Siamo quasi in dirittura di arrivo: è sufficiente eseguire le moltiplicazioni rimaste ed effettuare le dovute semplificazioni

\\ =1-5x+7x^2-x+5x^2-7x^3-8\left[\frac{-9+18x-36x^2}{8}\right]= \\ \\ \\ =1-6x+12x^2-7x^3+9-18x+36x^2=-7x^3+48x^2-24x+10

Ecco fatto!
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Os