Esercizio: semplificare un polinomio con regole specifiche

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#8244
avt
904
Sfera
Ho bisogno di una mano per ridurre un'espressione algebrica sfruttando la regola sulla somma di cubi e quella sulla differenza.

Mediante le regole sulla somma e differenza di cubi semplificare la seguente espressione

(1-2x)^3+x^3-8[(x-1)^3-(1)/(8)(1+2x)^3]
#8250
avt
Omega
Amministratore
Dobbiamo semplificare il più possibile l'espressione algebrica

(1-2x)^3+x^3-8[(x-1)^3-(1)/(8)(1+2x)^3]

utilizzando la regola di scomposizione di una somma di cubi

A^3+B^3 = (A+B)(A^2+AB+B^2)

e quella relativa alla differenza di cubi

A^3-B^3 = (A-B)(A^2-AB+B^2)

dove con A e B indichiamo le basi delle potenze terze

In accordo con la regola sulla somma di cubi, possiamo scomporre (1-2x)^3+x^3 osservando che le basi delle potenze terze sono 1-2x e x

(1-2x)^3+x^3-8[(x-1)^3-(1)/(8)(1+2x)^3] = ((1-2x)+x)((1-2x)^2-(1-2x)·x+x^2)-8[(x-1)^3-(1)/(8)(1+2x)^3] =

Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo tra loro i termini simili

= (1-x)(1+4x^2-4x-x+2x^2+x^2)-8[(x-1)^3-(1)/(8)(1+2x)^3] = (1-x)(1-5x+7x^2)-8[(x-1)^3-(1)/(8)(1+2x)^3] = (•)

Dedichiamoci al calcolo della differenza di cubi presente all'interno delle parentesi quadre. In accordo con le proprietà delle potenze il termine (1)/(8)(1+2x)^3 si esprime come il cubo di (1+2x)/(3), infatti

(1)/(8)(1+2x)^3 = (1)/(2^3)(1+2x)^3 = ((1+2x)/(2))^3

pertanto, l'espressione si riscrive nella forma equivalente

(•) = (1-x)(1-5x+7x^2)-8[(x-1-(1+2x)/(2))((x-1)^2+(x-1)·(1+2x)/(3)+((1+2x)/(2))^2)] =

Sviluppiamo i quadrati dei binomi presenti, eseguiamo il prodotto e, in contemporanea, sommiamo tra loro i termini simili

= (1-x)(1-5x+7x^2)-8[(2x-2-1-2x)/(2)·(x^2-2x+1+((x-1)(1+2x))/(2)+((1+2x)/(2))^2)] = (1-x)(1-5x+7x^2)-8[-(3)/(2)·(x^2-2x+1+(x+2x^2-1-2x)/(2)+(1+4x^2+4x)/(4))] = (1-x)(1-5x+7x^2)-8[-(3)/(2)·(x^2-2x+1+(2x^2-x-1)/(2)+(1+4x^2+4x)/(4))] =

Portiamo il tutto a denominatore comune e sommiamo i termini simili

= (1-x)(1-5x+7x^2)-8[-(3)/(2)·(x^2-2x+1+(2x^2-x-1)/(2)+(1+4x^2+4x)/(4))] = (1-x)(1-5x+7x^2)-8[-(3)/(2)((4(x^2-2x+1)+2(2x^2-x-1)+1+4x^2+4x)/(4))] = (1-x)(1-5x+7x^2)-8[-(3)/(2)((4x^2-8x+4+4x^2-2x-2+1+4x^2+4x)/(4))] = (1-x)(1-5x+7x^2)-8[-(3)/(2)((3-6x+12x^2)/(4))] =

Siamo quasi in dirittura di arrivo: è sufficiente eseguire le moltiplicazioni rimaste ed effettuare le dovute semplificazioni

= 1-5x+7x^2-x+5x^2-7x^3-8[(-9+18x-36x^2)/(8)] = 1-6x+12x^2-7x^3+9-18x+36x^2 = -7x^3+48x^2-24x+10

Ecco fatto!
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