Cubo di un binomio con numeri decimali

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Cubo di un binomio con numeri decimali #82345

avt
Tea-Rex
Punto
Non so come svolgere un esercizio sullo sviluppo di un cubo di binomio per via dei coefficienti decimali di quest'ultimo. In teoria so come calcolare il cubo, in pratica non so come gestire i numeri decimali. Potreste aiutarmi?

Dopo aver espresso i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici, calcolare il seguente cubo di binomio

(0,1a-0,2)^3

Grazie mille.
 
 

Cubo di un binomio con numeri decimali #94794

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di determinare lo sviluppo del cubo di binomio

(0,1a-0,2)^3

ma prima di svolgere i calcoli, conviene esprimere i numeri decimali 0,1 \ \mbox{e} \ 0,2 nelle rispettive frazioni generatrici.

La frazione associata a 0,1 ha per numeratore il numero senza la virgola e per denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali:

0,1=\frac{1}{10}

Usando lo stesso ragionamento, la frazione associata al numero 0,2 è \frac{1}{5}, infatti:

0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

dove nell'ultimo passaggio abbiamo ridotto la frazione ai minimi termini.

Alla luce di queste considerazioni, (0,1a-0,2)^3 diventa:

\left(\frac{1}{10}a-\frac{1}{5}\right)^3

Per svilupparlo, usiamo il prodotto notevole

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

che consente di esprimere il cubo della somma di due termini come la somma tra il cubo del primo termine, il triplo prodotto tra il quadrato del primo per il secondo, il triplo prodotto tra il primo per il quadrato del secondo e il cubo del secondo termine.

Sebbene nella base del cubo compaia una differenza, possiamo rivederla come somma algebrica tra i monomi

\frac{1}{10}a \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -\frac{1}{5}

vale a dire

\left(\frac{1}{10}a-\frac{1}{5}\right)^3=\left(\frac{1}{10}a+\left(-\frac{1}{5}\right)\right)^3=(\bullet)

Dall'ultima espressione deduciamo che il primo e secondo termine valgono rispettivamente

\frac{1}{10}a \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -\frac{1}{5}

e in accordo con la regola sullo sviluppo del cubo di binomio, ricaviamo:

(\bullet)=\left(\frac{1}{10}a\right)^3+3\cdot\left(\frac{1}{10}a\right)^2\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)+3\cdot\left(\frac{1}{10}a\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^2+\left(-\frac{1}{5}\right)^3=

Eseguiamo le operazioni tra i monomi, usando a dovere le proprietà delle potenze e la regola dei segni

\\ =\frac{1}{10^3}a^3+3\cdot\frac{1}{10^2}a^2\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)+3\cdot\frac{1}{10}a\cdot\frac{1}{5^2}-\frac{1}{5^3}= \\ \\ \\ =\frac{1}{1000}a^3-\frac{3}{100\cdot 5}a^2+\frac{3}{10\cdot 25}a-\frac{1}{125}=\\ \\ \\ =\frac{1}{1000}a^3-\frac{3}{500}a^2+\frac{3}{250}a-\frac{1}{125}

In definitiva, possiamo affermare che lo sviluppo del cubo di binomio richiesto è:

\left(\frac{1}{10}a-\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{1000}a^3-\frac{3}{500}a^2+\frac{3}{250}a-\frac{1}{125}

Abbiamo terminato.
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