Esercizio equazione fratta con seno e coseno

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Esercizio equazione fratta con seno e coseno #82153

avt
maratoneta64
Punto
Non sono in grado di risolvere un'equazione goniometrica fratta in coseni. Più precisamente, dopo averla espressa in forma normale, ho ricavato le soluzioni. C'è solo un piccolo problema: l'equazione è impossibile e non capisco perché! Potreste aiutarmi?

Determinare l'insieme delle soluzioni associato alla seguente equazione goniometrica fratta

\frac{\cos(x)+1}{\sin(x)}=0 \ \ \ \mbox{con} \ x\in [0,2\pi]

Grazie mille.
 
 

Esercizio equazione fratta con seno e coseno #82573

avt
Iusbe
Templare
Per poter calcolare l'insieme delle soluzioni dell'equazione fratta

\frac{\cos(x)+1}{\sin(x)}=0 \ \ \ \mbox{con} \ x\in [0, 2\pi]

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che il denominatore sia non nullo, ossia

C.E.:\ \sin(x)\ne 0\ \ \ \to \ \ \ x\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne \pi \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 2\pi

Chiaramente, dobbiamo tenere in considerazione il vincolo x\in [0,2\pi] imposto dalla traccia del problema.

Bene, torniamo a occuparci dell'equazione: moltiplichiamo a destra e a sinistra per il seno di x così da cancellare il denominatore e ottenere l'equazione goniometrica elementare:

\cos(x)+1=0

Isoliamo il coseno al primo membro

\cos(x)=-1

e scriviamo i valori di x dell'intervallo [0,2\pi] il cui coseno è uguale a -1, tenendo a mente la tabella dei valori notevoli del coseno:

x=\pi

Osserviamo però che il valore ottenuto viola la condizione x\ne \pi pertanto non può essere soluzione dell'equazione fratta. Possiamo concludere che l'equazione goniometrica iniziale non ammette soluzioni, dunque l'insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto: S=\emptyset.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Julien
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Os