Equazione irrazionale con radicando di grado 2

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Equazione irrazionale con radicando di grado 2 #81968

avt
Wicklow
Punto
Spero che possiate darmi una mano per risolvere un'equazione irrazionale in cui il termine irrazionale ha indice par e il radicando è un polinomio di secondo grado. Le mie perplessità risiedono nell'escludere i valori che non sono effettivamente le soluzioni.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione irrazionale

\sqrt{4x^2-3x}=1

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con radicando di grado 2 #81969

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo l'equazione irrazionale

\sqrt{4x^2-3x}=1

L'esercizio ci chiede di determinare l'insieme dei valori da attribuire all'incognita affinché venga soddisfatta l'uguaglianza. Prima di dedicarci ai calcoli, è opportuno osservare che al primo membro compare una radice quadrata, pertanto dobbiamo imporre che il suo radicando sia non negativo affinché sia ben posta.

La condizione di esistenza della radice si traduce nella disequazione di secondo grado

4x^2-3x\ge 0\ \ \ \to \ \ \ x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge\frac{3}{4}

da cui deduciamo che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dato da

C.E.:\ x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge \frac{3}{4}

Dal punto di vista teorico dovremmo imporre anche la condizione di concordanza: poiché il primo membro è certamente una quantità positiva o al più nulla, dev'esserlo anche il secondo membro affinché l'uguaglianza possa sussistere. In questo caso, il secondo membro dell'equazione è un numero positivo, ecco perché la condizione di concordanza è implicitamente verificata a prescindere dal valore assunto da x.

Dopo questo preambolo, dedichiamoci alla risoluzione dell'equazione elevandone al quadrato i membri

(\sqrt{4x^2-3x})^2=1^2

da cui ricaviamo

4x^2-3x=1 \ \ \ \to \ \ \ 4x^2-3x-1=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=4\ \ \ , \ \ \ b=-3 \ \ \ , \ \ \ c=-1

di cui calcoliamo il discriminante con la relazione

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 4 \cdot (-1)=25

Dalla positività di quest'ultimo comprendiamo che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{4\cdot 2}=\\ \\ \\ =\frac{3\pm 5}{8}=\begin{cases}\frac{3-5}{8}=-\frac{1}{4}=x_1 \\ \\ \frac{3+5}{8}=1=x_2\end{cases}

Entrambi i valori soddisfano le condizioni di esistenza pertanto possiamo concludere che essi sono soluzioni dell'equazione irrazionale, il cui insieme soluzione è conseguentemente:

S=\left\{-\frac{1}{4}, \ 1\right\}

Ecco fatto!
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Os