Esercizio su scomposizione di un polinomio con i prodotti notevoli

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Esercizio su scomposizione di un polinomio con i prodotti notevoli #8185

avt
904
Sfera
Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio in fattori irriducibili utilizzando, se necessario, le regole sulla somma e differenza di cubi.

Scomporre il seguente polinomio utilizzano gli opportuni prodotti notevoli

x^6-1+(x^2-x+1)(x^2+x+1)
 
 

Esercizio su scomposizione di un polinomio con i prodotti notevoli #8206

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nello scomporre il polinomio

x^6-1+(x^2-x+1)(x^2+x+1)=

utilizzando esclusivamente i prodotti notevoli. Per prima cosa osserviamo che, grazie alle proprietà delle potenze, il polinomio x^6-1 può essere letto come una differenza di quadrati, dunque può essere scomposto mediante l'omonima regola

\\ =(x^3)^2-1+(x^2-x+1)(x^2+x+1)= \\ \\ =(x^3-1)(x^3+1)+(x^2-x+1)(x^2+x+1)

Osserviamo ora che x^3-1 \ \mbox{e} \ x^3+1 sono rispettivamente differenza e somma dei cubi di x \ \mbox{e}\ 1 pertanto possiamo scomporli, ottenendo

=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)+(x^2-x+1)(x^2+x+1)=

Manca poco alla scomposizione richiesta, è sufficiente raccogliere totalmente i fattori comuni x^2-x+1\ \mbox{e} \ x^2+x+1

=(x^2-x+1)(x^2+x+1)[(x-1)(x+1)+1]=

sviluppare il prodotto nelle parentesi quadre

=(x^2-x+1)(x^2+x+1)[x^2-1+1]=

e sommare i termini simili

=(x^2-x+1)(x^2+x+1)x^2

Quella ottenuta è la scomposizione richiesta dalla traccia.
Ringraziano: Ifrit
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Os