Esercizio di scomposizione con Ruffini di un polinomio di grado 3

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Esercizio di scomposizione con Ruffini di un polinomio di grado 3 #81784

avt
Franz96n
Punto
Dovrei scomporre un polinomio di terzo grado con la regola di Ruffini, però c'è un problema: Il polinomio è senza termine noto! Come faccio in questi casi a determinare i divisori che annullano il polinomio?

Scomporre il seguente polinomio con la regola di Ruffini

P(x)=4x^3+8x^2+3x

Grazie.
 
 

Esercizio di scomposizione con Ruffini di un polinomio di grado 3 #81785

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito prevede di scomporre il polinomio di terzo grado

P(x)=4x^3+8x^2+3x

avvalendoci della regola di Ruffini, ma prima un'osservazione importante.

Il polinomio P(x) presenta una peculiarità: il termine noto è nullo. Non che cambi molto, la regola di Ruffini può essere tranquillamente applicata anche in questa circostanza, però possiamo limitare il numero di passaggi se prima raccogliamo totalmente il fattore comune x e scrivere:

P(x)=x(4x^2+8x+3)

Il fattore x è di primo grado e in quanto tale risulta irriducibile. Il fattore 4x^2+8x+3 è invece di secondo grado, pertanto c'è la possibilità di scomporlo ulteriormente.

Poniamo

P_{1}(x)=4x^2+8x+3

e applichiamo il metodo di Ruffini. Per poterlo innescare abbiamo bisogno di una radice razionale di P_{1}(x), vale a dire un valore che lo annulla.

Tale radice si presenta nella forma \frac{p}{q} dove:

- il numeratore p è un divisore intero del termine noto;

- il denominatore q è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo, detto altrimenti coefficiente direttivo.

Dal punto di vista puramente pratico, dobbiamo elencare i divisori interi del termine noto 3

\mbox{Divisori interi di }3=\{\pm 1, \ \pm 3\}

elencare i divisori interi del coefficiente direttivo 4

\mbox{Divisori interi di }4=\{\pm 1, \ \pm 2, \ \pm 4\}

e infine costruire l'insieme delle frazioni che hanno un divisore di 3 al numeratore e un divisore di 4 al denominatore

\left\{\pm 1, \ \pm \frac{1}{2}, \ \pm\frac{1}{4}, \ \pm 3, \ \pm\frac{3}{2}, \ \pm\frac{3}{4}\right\}

Se una radice razionale esiste, essa dovrà essere necessariamente tra quelle elencate. Per poterla determinare, effettuiamo le valutazioni di P_1(x): basta rimpiazzare di volta in volta i valori al posto dell'indeterminata.

Dopo qualche tentativo, ci accorgiamo che il numero necessario a innescare il metodo è -\frac{1}{2} proprio perché la valutazione P_{1}\left(-\frac{1}{2}\right) è 0, infatti:

\\ P_{1}\left(-\frac{1}{2}\right)=4\left(-\frac{1}{2}\right)^2+8\left(-\frac{1}{2}\right)+3=\\ \\ \\ =4\cdot\frac{1}{4}-4+3=1-4+3=0

In base alla teoria, P_{1}(x) si esprimerà come prodotto tra il binomio x-\mbox{radice} e un polinomio di primo grado Q(x) da determinare. In simboli matematici:

P_{1}(x)=\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)Q(x)

Come si ricava Q(x)? Bisogna costruire la tabella di Ruffini! Essa è formata da due linee verticali tagliate in basso da una linea orizzontale.

\begin{array}{c|ccc|c}& \ \ \ &&  \ \ \ &\\ &&&& \\ &&&& \\\hline &&&&  \end{array}

Inseriamo dopo la prima linea verticale i coefficienti di P_1(x), avendo premura di riportare il suo termine noto oltre la seconda linea verticale. Riportiamo inoltre la radice razionale -\frac{1}{2} sul primo elemento della seconda riga

\begin{array}{c|ccc|c}&4&\ \ \ &8&3\\ &&&& \\ -\frac{1}{2}&&&& \\ \hline &&&&  \end{array}

A questo punto trascriviamo 4 in basso

\begin{array}{c|ccc|c}&4&\ \ \ &8&3\\ &&&& \\ -\frac{1}{2}&&&& \\ \hline &4&&&  \end{array}

moltiplichiamolo per la radice e incolonniamo il risultato sotto il numero 8

\begin{array}{c|ccc|c}&4&\ \ \ &8&3\\ &&&& \\ -\frac{1}{2}&&&-2& \\ \hline &4&&&  \end{array}

Addizioniamo 8 e -2 e riportiamo il risultato sotto la linea di separazione:

\begin{array}{c|ccc|c}&4&\ \ \ &8&3\\ &&&& \\ -\frac{1}{2}&&&-2& \\ \hline &4&&6&  \end{array}

Infine moltiplichiamo tra loro 6 e la radice, riportiamo il risultato sotto 3 e addizioniamo:

\begin{array}{c|ccc|c}&4&\ \ \ &8&3\\ &&&& \\ -\frac{1}{2}&&&-2&-3 \\ \hline &4&&6& // \end{array}

Si osservi che nell'ambito delle scomposizioni, l'ultima somma dev'essere necessariamente nulla, in caso contrario c'è sicuramente un errore nello svolgimento.

Nell'ultima riga compaiono i coefficienti del polinomio Q(x) ordinati secondo le potenze decrescenti di x, conseguentemente

Q(x)=4x+6

Con le informazioni ottenute, siamo in grado di concludere l'esercizio, basta infatti sostituire a ritroso. Poiché P_1(x) si scompone come

\\ P_{1}(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)Q(x)=\\ \\ \\ =\left(x-\frac{1}{2}\right)(4x+6)

allora P(x) diventa

P(x)=x P_1(x)=x\left(x-\frac{1}{2}\right)(4x+6)=

L'esercizio è pressoché concluso, mancano solo alcuni passaggi algebrici che consentono di esprimere il risultato in maniera più elegante. Scriviamo a denominatore comune i termini del secondo fattore e raccogliamo 2 dall'ultimo

=x\left(\frac{2x-1}{2}\right)\cdot 2(2x+3)

infine semplifichiamo 2 e scriviamo la scomposizione di P(x)

P(x)=x(2x-1)(2x+3)

Ecco fatto!
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Os