Equazione irrazionale con radice ad indice 2

Riscontro diverse perplessità nel risolvere un'equazione irrazionale a coefficienti fratti. Non capisco come impostare correttamente la condizione di concordanza, per questo motivo richiedo il vostro aiuto.

Determinare le soluzioni della seguente equazione irrazionale



Grazie.

L'esercizio ci chiede di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione irrazionale



ma prima bisogna effettuare alcune considerazioni. L'equazione si presenta in forma normale, infatti il termine irrazionale è isolato al primo membro, mentre tutto il resto è al secondo. Inoltre l'indice della radice è pari, di conseguenza dobbiamo seguire una strategia ben precisa.

Per prima cosa bisogna imporre le condizioni di esistenza richiedendo che il radicando sia maggiore o al più uguale a zero



Rimarchiamo che una radice con indice pari è ben definita nel momento in cui il proprio radicando è positivo o al più nullo.

Imponiamo inoltre la condizione di concordanza: poiché il primo membro è positivo o al più nullo, deve esserlo anche il secondo. Tale condizione conduce alla disequazione di primo grado



Per risolverla, moltiplichiamo i due membri per 5, dopodiché isoliamo l'incognita a sinistra



Osservazione importante: un valore che si candida a soluzione dell'equazione irrazionale deve rispettare contemporaneamente entrambe le condizioni, e se ciò non dovesse accadere, verrà scartato.

Una volta esplicitate le condizioni, possiamo procedere con la risoluzione dell'equazione elevando i termini al quadrato



così facendo la radice quadrata si semplifica con l'esponente



Per quanto concerne il secondo membro, usiamo a nostro vantaggio la proprietà relativa alla potenza di un rapporto grazie alla quale scriviamo



A questo punto sviluppiamo il quadrato di binomio



trasportiamo tutti i termini al primo membro



e infine calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori



Moltiplichiamo a destra e a sinistra per 25



dopodiché sommiamo tra loro i monomi simili cosicché l'equazione diventi



Se inoltre dividiamo ciascun coefficiente per -9, otterremo



In buona sostanza, abbiamo ricavato un'equazione di secondo grado con coefficienti



Per analizzarla a dovere, calcoliamo il discriminante associato avvalendoci della formula



La positività del delta garantisce che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte, ottenibili con la relazione



Adesso un po' di attenzione: si candidano come soluzione dell'equazione irrazionale, ma per esserlo devono necessariamente soddisfare i vincoli dell'equazione.

soddisfa sia la condizione di esistenza, sia la condizione di concordanza, di conseguenza è una soluzione accettabile per l'equazione iniziale. Lo stesso dicasi per , pertanto possiamo concludere che



ammette due soluzioni, , pertanto è determinata e il suo insieme soluzione è:



Abbiamo finito!