Equazione irrazionale con radice ad indice 2

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Equazione irrazionale con radice ad indice 2 #81750

avt
simone_007
Punto
Riscontro diverse perplessità nel risolvere un'equazione irrazionale a coefficienti fratti. Non capisco come impostare correttamente la condizione di concordanza, per questo motivo richiedo il vostro aiuto.

Determinare le soluzioni della seguente equazione irrazionale

\sqrt{3x-2}=\frac{3x+2}{5}

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale con radice ad indice 2 #81751

avt
Galois
Coamministratore
L'esercizio ci chiede di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione irrazionale

\sqrt{3x-2}=\frac{3x+2}{5}

ma prima bisogna effettuare alcune considerazioni. L'equazione si presenta in forma normale, infatti il termine irrazionale è isolato al primo membro, mentre tutto il resto è al secondo. Inoltre l'indice della radice è pari, di conseguenza dobbiamo seguire una strategia ben precisa.

Per prima cosa bisogna imporre le condizioni di esistenza richiedendo che il radicando sia maggiore o al più uguale a zero

C.E.:\ 3x-2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge \frac{2}{3}

Rimarchiamo che una radice con indice pari è ben definita nel momento in cui il proprio radicando è positivo o al più nullo.

Imponiamo inoltre la condizione di concordanza: poiché il primo membro è positivo o al più nullo, deve esserlo anche il secondo. Tale condizione conduce alla disequazione di primo grado

C.C.: \ \frac{3x+2}{5}\ge 0

Per risolverla, moltiplichiamo i due membri per 5, dopodiché isoliamo l'incognita a sinistra

3x+2\ge 0\ \ \ \to \ \ \ 3x\ge -2 \ \ \ \to \ \ \ x\ge-\frac{2}{3}

Osservazione importante: un valore che si candida a soluzione dell'equazione irrazionale deve rispettare contemporaneamente entrambe le condizioni, e se ciò non dovesse accadere, verrà scartato.

Una volta esplicitate le condizioni, possiamo procedere con la risoluzione dell'equazione elevando i termini al quadrato

(\sqrt{3x-2})^2=\left(\frac{3x+2}{5}\right)^2

così facendo la radice quadrata si semplifica con l'esponente

3x-2=\left(\frac{3x+2}{5}\right)^2

Per quanto concerne il secondo membro, usiamo a nostro vantaggio la proprietà relativa alla potenza di un rapporto grazie alla quale scriviamo

3x-2=\frac{(3x+2)^2}{25}

A questo punto sviluppiamo il quadrato di binomio

3x-2=\frac{9x^2+12x+4}{25}

trasportiamo tutti i termini al primo membro

3x-2-\frac{9x^2+12x+4}{25}=0

e infine calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{75x-50-9x^2-12x-4}{25}=0

Moltiplichiamo a destra e a sinistra per 25

75x-50-9x^2-12x-4=0

dopodiché sommiamo tra loro i monomi simili cosicché l'equazione diventi

-9x^2+63x-54=0

Se inoltre dividiamo ciascun coefficiente per -9, otterremo

x^2-7x+6=0

In buona sostanza, abbiamo ricavato un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=1 \ \ \ ,\ \ \ b=-7 \ \ \ , \ \ \ c=6

Per analizzarla a dovere, calcoliamo il discriminante associato avvalendoci della formula

\Delta=b^2-4ac= (-7)^2-4\cdot 1\cdot 6=25

La positività del delta garantisce che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte, ottenibili con la relazione

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2}=\begin{cases}\frac{7-5}{2}=1=x_1\\ \\ \frac{7+5}{2}=6=x_2\end{cases}

Adesso un po' di attenzione: x_1=1 \ \mbox{e} \ x_2=6 si candidano come soluzione dell'equazione irrazionale, ma per esserlo devono necessariamente soddisfare i vincoli dell'equazione.

x_1=1 soddisfa sia la condizione di esistenza, sia la condizione di concordanza, di conseguenza è una soluzione accettabile per l'equazione iniziale. Lo stesso dicasi per x_2=6, pertanto possiamo concludere che

\sqrt{3x-2}=\frac{3x+2}{5}

ammette due soluzioni, x_1=1 \ \mbox{e} \ x_2=6, pertanto è determinata e il suo insieme soluzione è:

S=\left\{1,6\right\}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os