Diverse scomposizioni per uno stesso polinomio

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Diverse scomposizioni per uno stesso polinomio #81308

avt
Gallo
Punto
Salve l'esercizio al quale farò riferimento è il numero 8 del vostro articolo di esercizi sulla regola di Ruffini.

Il risultato non mi torna. Illustro il mio procedimento.

Dunque prima cosa troviamo uno zero, nella fattispecie è +2.

Tramite la tabella di Ruffini ho calcolato i coefficienti e la situazione preposta è questa

(x-2)(x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32)

A questo punto applico un raccoglimento parziale al secondo fattore

(x-2) x^4(x+2) +4x^2(x+2) +16(x+2)

(x-2)(x+2)(x^4+4x^2+16)

Ora non capisco come continuare, in quanto Ruffini non è applicabile, non esiste una radice che mi dia P(x)=0.

Cosa sbaglio?
 
 

Diverse scomposizioni per uno stesso polinomio #81312

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Gallo emt

In realtà, al momento, come puoi leggere nelle linee guida il forum è chiuso e non è possibile porre domande. Però visto che la tua domanda riguarda un esercizio preso dai nostri articoli abbiamo deciso di chiudere un occhio. emt

Ci sono tantissimi modi per scomporre il polinomio

p(x)=x^6-64

Il metodo più veloce è quello di considerarlo una differenza di quadrati in quando

x^6={x^3}^2 \mbox{ e } 64 = 8^2

In questo modo si ha

x^6-64=(x^3-8)(x^3+8)

Ora, i due polinomi a secondo membro sono, rispettivamente, una differenza di cubi ed una somma di cubi. Abbiamo allora

x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)

x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)

E quindi:

x^6-64=(x^3-8)(x^3+8)=(x-2)(x^2+2x+4)(x+2)(x^2-2x+4)

L'esercizio però è stato proposto con lo scopo di allenarsi all'utilizzo della regola di Ruffini. Quindi possiamo applicare due volte la regola di Ruffini utilizzando le due radici +2 \mbox{ e } -2.

In questo modo si arriva a, come ben dici:

x^6-64=(x-2)(x+2)(x^4+4x^2+16)

Ora, la regola di Ruffini non è più applicabile al polinomio

x^4+4x^2+16

in quanto, quest'ultimo, non ha radici reali. Possiamo però utilizzare il seguente stratagemma che viene detto metodo del completamento del quadrato.

Poiché

x^4+4x^2+16

assomiglia allo sviluppo di un quadrato di binomio ma in realtà non lo è rendiamolo tale sommando e sottraendo 4x^2. Abbiamo così

x^4+4x^2+16=x^4+4x^2+4x^2-4x^2+16=x^4+8x^2+16-4x^2

Ora, i primi tre termini costituiscono, effettivamente, lo sviluppo di un quadrato di binomio. Possiamo allora scrivere

x^4+8x^2+16-4x^2=(x^2+4)^2-4x^2=(x^2+4-2x)(x^2+4+2x)

dove, nell'ultimo passaggio, ho utilizzato la regola di scomposizione della differenza di due quadrati. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Gallo, luca cavallo

Diverse scomposizioni per uno stesso polinomio #81315

avt
Gallo
Punto
Grazie mille, sia per aver chiuso un occhio sia per lo svolgimento passo passo dell'esercizio...
Ringraziano: Galois, luca cavallo, matteo.basile
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Os