Scomposizione quadrinomio di trinomi come cubo di binomio

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Scomposizione quadrinomio di trinomi come cubo di binomio #81242

avt
MrHauza
Punto
Mi è capitato un esercizio sulla scomposizione dei polinomi da effettuare con la regola sullo sviluppo del cubo di un binomio. Mi sono rifatto alla teoria e fatto numerosi calcoli, però non ho ottenuto lo stesso risultato del libro.

Semplificare la seguente espressione algebrica, scomponendo con l'opportuno prodotto notevole

(a+1)^3-6a(a+1)^2+12a^2(a+1)-8a^3

Grazie.
 
 

Scomposizione quadrinomio di trinomi come cubo di binomio #81249

avt
Ifrit
Amministratore
Per poter semplificare l'espressione algebrica

(a+1)^3-6a(a+1)^2+12a^2(a+1)-8a^3

limitando al minimo il numero di passaggi, possiamo sfruttare la formula sul cubo di un binomio

A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=(A+B)^3

Attenzione! La regola può essere usata solo dopo aver verificato che l'espressione iniziale rispetta due condizioni:

- devono esserci due cubi perfetti, da cui dobbiamo estrapolare le basi;

- i restanti termini del polinomio devono coincidere con i tripli prodotti.

Nel caso considerato, i cubi perfetti sono:

- il termine (a+1)^3 con base a+1;

- il termine -8a^3 con base -2a, infatti per le proprietà delle potenze:

(-2a)^3=-2^3a^3=-8a^3

Note le basi, verifichiamo che i termini

-6a(a+1)^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 12a^2(a+1)

siano effettivamente i tripli prodotti. Calcoliamo il triplo prodotto tra la base del primo cubo al quadrato per la seconda, vale a dire:

3\cdot (a+1)^2\cdot (-2a)=-6a(a+1)^2

e il triplo prodotto della base del primo cubo per il quadrato della base del secondo, ossia:

3\cdot (a+1)\cdot (-2a)^2=3\cdot (a+1)\cdot 4a^2=12a^2(a+1)

I passaggi seguiti dimostrano che l'espressione iniziale non è altri che lo sviluppo del cubo della somma tra le basi, cioè:

\\ (a+1)^3-6a(a+1)^2+12a^2(a+1)-8a^3=(a+1-2a)^3=\\ \\ =(1-a)^3=1-3a+3a^2-a^3

Controlliamo che il risultato sia corretto: è sufficiente effettuare i calcoli e controllare che alla fine si ottenga il polinomio

1-3a+3a^2-a^3.

Consideriamo l'espressione

(a+1)^3-6a(a+1)^2+12a^2(a+1)-8a^3=

Sviluppiamo sia il cubo che il quadrato del binomio a+1:

=a^3+3a^2+3a+1-6a(a^2+2a+1)+12a^2(a+1)-8a^3=

Eseguiamo le moltiplicazioni tra i monomi e i polinomi associati, usando a dovere la regola dei segni

\\ =a^3+3a^2+3a+1-6a(a^2+2a+1)+12a^2(a+1)-8a^3= \\ \\ = a^3+3a^2+3a+1-6a^3-12a^2-6a+12a^3+12a^2-8a^3=

Sommiamo tra loro i monomi simili e scriviamo il risultato

=(1-6+12-8)a^3+(3-12+12)a^2+(3-6)a+1=-a^3+3a^2-3a+1

Esso coincide con il polinomio ottenuto con l'altro metodo, pertanto l'esercizio è svolto in maniera corretta.
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