Scomposizione quadrinomio di trinomi come cubo di binomio

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#81242
avt
MrHauza
Punto

Mi è capitato un esercizio sulla scomposizione dei polinomi da effettuare con la regola sullo sviluppo del cubo di un binomio. Mi sono rifatto alla teoria e fatto numerosi calcoli, però non ho ottenuto lo stesso risultato del libro.

Semplificare la seguente espressione algebrica, scomponendo con l'opportuno prodotto notevole

(a+1)^3−6a(a+1)^2+12a^2(a+1)−8a^3

Grazie.

#81249
avt
Ifrit
Amministratore

Per poter semplificare l'espressione algebrica

(a+1)^3−6a(a+1)^2+12a^2(a+1)−8a^3

limitando al minimo il numero di passaggi, possiamo sfruttare la formula sul cubo di un binomio

A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 = (A+B)^3

Attenzione! La regola può essere usata solo dopo aver verificato che l'espressione iniziale rispetta due condizioni:

- devono esserci due cubi perfetti, da cui dobbiamo estrapolare le basi;

- i restanti termini del polinomio devono coincidere con i tripli prodotti.

Nel caso considerato, i cubi perfetti sono:

- il termine (a+1)^3 con base a+1;

- il termine −8a^3 con base −2a, infatti per le proprietà delle potenze:

(−2a)^3 = −2^3a^3 = −8a^3

Note le basi, verifichiamo che i termini

−6a(a+1)^2 e 12a^2(a+1)

siano effettivamente i tripli prodotti. Calcoliamo il triplo prodotto tra la base del primo cubo al quadrato per la seconda, vale a dire:

3·(a+1)^2·(−2a) = −6a(a+1)^2

e il triplo prodotto della base del primo cubo per il quadrato della base del secondo, ossia:

3·(a+1)·(−2a)^2 = 3·(a+1)·4a^2 = 12a^2(a+1)

I passaggi seguiti dimostrano che l'espressione iniziale non è altri che lo sviluppo del cubo della somma tra le basi, cioè:

(a+1)^3−6a(a+1)^2+12a^2(a+1)−8a^3 = (a+1−2a)^3 = (1−a)^3 = 1−3a+3a^2−a^3

Controlliamo che il risultato sia corretto: è sufficiente effettuare i calcoli e controllare che alla fine si ottenga il polinomio

1−3a+3a^2−a^3.

Consideriamo l'espressione

(a+1)^3−6a(a+1)^2+12a^2(a+1)−8a^3 =

Sviluppiamo sia il cubo che il quadrato del binomio a+1:

= a^3+3a^2+3a+1−6a(a^2+2a+1)+12a^2(a+1)−8a^3 =

Eseguiamo le moltiplicazioni tra i monomi e i polinomi associati, usando a dovere la regola dei segni

= a^3+3a^2+3a+1−6a(a^2+2a+1)+12a^2(a+1)−8a^3 = a^3+3a^2+3a+1−6a^3−12a^2−6a+12a^3+12a^2−8a^3 =

Sommiamo tra loro i monomi simili e scriviamo il risultato

= (1−6+12−8)a^3+(3−12+12)a^2+(3−6)a+1 = −a^3+3a^2−3a+1

Esso coincide con il polinomio ottenuto con l'altro metodo, pertanto l'esercizio è svolto in maniera corretta.

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