Equazione fratta di primo grado con rapporti di rapporti

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Equazione fratta di primo grado con rapporti di rapporti #81125

avt
andar9896
Punto
Come posso risolvere il seguente esercizio sulle equazioni fratte di primo grado? Il mio problema risiede nel fatto che compaiono frazioni di frazioni che non so trattare a dovere. Come se non bastasse compaiono diversi polinomi di grado maggiore di uno.

Risolvere la seguente equazione fratta dopo aver scomposto opportunamente i polinomi di grado superiore a 1

\dfrac{\dfrac{2x-3}{x^2-2x}}{\dfrac{x^2+x+1}{x^3-1}}-\frac{2x^3-4x^2}{x^3-4x^2+4x}=0
 
 

Equazione fratta di primo grado con rapporti di rapporti #81151

avt
Ifrit
Amministratore
Il problema chiede di risolvere l'equazione

\dfrac{\dfrac{2x-3}{x^2-2x}}{\dfrac{x^2+x+1}{x^3-1}}-\frac{2x^3-4x^2}{x^3-4x^2+4x}=0

che, come avremo modo di constatare una volta portati a termine i calcoli, è più propriamente un'equazione fratta di primo grado.

Per prima cosa proponiamoci di scomporre i polinomi utilizzando i prodotti notevoli e le opportune tecniche di fattorizzazione.

Il polinomio x^2-2x si fattorizza raccogliendo a fattore comune x

x^2-2x=x(x-2)

Il polinomio x^2+x+1 è un falso quadrato e in quanto tale non si fattorizza ulteriormente.

Il binomio x^3-1 si scompone mediante la regola relativa alla differenza di cubi

x^3-1=(x-1)(x^2 + x + 1)

Per quanto concerne 2x^3-4x^2 possiamo raccogliere totalmente 2x^2:

2x^3-4x^2=2x^2(x-2)

Infine dobbiamo prendere in considerazione il polinomio x^3-4x^2+4x che possiamo scomporre raccogliendo totalmente x e scomporre in seguito il quadrato di binomio.

x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=x(x-2)^2

Riscriviamo l'equazione rimpiazzando i polinomi con le relative scomposizioni

\dfrac{\dfrac{2x-3}{x(x-2)}}{\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}}-\frac{2x^2(x-2)}{x(x-2)^2}=0

e, prima di effettuare qualsiasi semplificazione, imponiamo le condizioni di esistenza.

Richiediamo in particolare che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero, questo perché non è possibile dividere per zero.

Nota bene: bisogna imporre anche che il denominatore principale della frazione di frazioni sia non nullo!

Le condizioni sono pertanto:

\\ \bullet \ \ \ x(x-2)\ne 0 \\ \\ \bullet \ \ \ \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}\ne 0 \\ \\ \\ \bullet \ \ \ (x-1)(x^2+x+1)\ne 0 \\ \\ \bullet \ \ \ x(x-2)^2\ne 0

Occupiamoci della prima, facendo intervenire la legge di annullamento del prodotto

x(x-2)\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne 2

Controlliamo la seconda

\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}\ne 0

Essa è una disuguaglianza fratta che è soddisfatta nel momento in cui il numeratore è diverso da zero. Per questioni di esistenza dobbiamo richiedere, inoltre, la non nullità del denominatore

x^2+x+1\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x-1)(x^2+x+1)\ne 0

La prima disuguaglianza è certamente vera per ogni x, giacché il polinomio x^2+x+1 è un falso quadrato irriducibile in \mathbb{R}.

Per studiare la seconda disuguaglianza, ci avvaliamo nuovamente della legge di annullamento del prodotto

(x-1)(x^2+x+1)\ne 0

da cui ricaviamo:

\\ x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1 \\ \\ x^2+x+1\ne 0 \ \ \to \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Per quanto concerne la non nullità del denominatore x(x-2)^2, bisogna analizzare la relazione

x(x-2)^2\ne 0

che studiamo con la legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se sono non nulli i fattori che lo compongono

\\ x\ne 0 \\ \\ (x-2)^2\ne 0 \ \ \to \ \ x-2\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 2

Nota: per la seconda relazione abbiamo utilizzato il fatto che una potenza diversa da zero se e solo se è diversa da zero la base.

Siamo finalmente in grado di esprimere le condizioni di esistenza

C.E.: \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne 1 \ \wedge x\ne 2

dove il simbolo matematico \wedge individua il connettivo logico "e".

Sotto tali vincoli, siamo autorizzati a semplificare le frazioni algebriche: se lo avessimo fatto prima, avremmo corso il rischio di perdere informazioni sulle condizioni di esistenza

\dfrac{\dfrac{2x-3}{x(x-2)}}{\dfrac{1}{x-1}}-\frac{2x}{x-2}=0

Procediamo con i passaggi algebrici e proponiamoci come obiettivo quello di ridurre in forma normale l'equazione. Consideriamo la frazione di frazioni e riscriviamola come prodotto tra il numeratore principale moltiplicato il reciproco del denominatore principale

\frac{2x-3}{x(x-2)}\cdot(x-1)-\frac{2x}{x-2}=0

da cui

\frac{(2x-3)(x-1)}{x(x-2)}-\frac{2x}{x-2}=0

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e esprimiamo il primo membro sotto forma di un unico rapporto

\frac{(2x-3)(x-1)-2x^2}{x(x-2)}=0

Sviluppiamo il prodotto tra i polinomi al numeratore

\frac{2x^2-2x-3x+3-2x^2}{x(x-2)}=0

e sommiamo tra loro i monomi simili

\frac{-5x+3}{x(x-2)}=0

Sotto i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, i principi di equivalenza delle equazioni consentono di eliminare il denominatore e di considerare l'equazione equivalente

-5x+3=0

Essa è un'equazione di primo grado che possiamo risolvere isolando l'incognita al primo membro

-5x=-3 \ \ \to \ \ 5x=3 \ \ \to \ \ x=\frac{3}{5}

Il valore ottenuto rappresenta una soluzione accettabile per l'equazione iniziale, perché rispetta le condizioni d'esistenza. Possiamo concludere, pertanto, che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\left\{\frac{3}{5}\right\}.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os