Moltiplicazione tra monomio e polinomio con numeri periodici

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#81061
avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio sul prodotto di un monomio per un polinomio a coefficienti decimali periodici. So che devo passare alle frazioni generatrici, però non ricordo più come si fa. Potreste aiutarmi, per favore?

Esprimere in forma canonica il seguente prodotto

(0,083x^2 y-0,3 x y^2+1,6x-2,3)·(-(3)/(2)x^3y^4)

Grazie.
Ringraziano: Galois, CarFaby, LucaLiuk
#85022
avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare il prodotto di un polinomio per un monomio e per raggiungerlo, basta rifarsi alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Purtroppo i coefficienti dell'espressione

(0,083x^2 y-0,3 x y^2+1,6x-2,3)·(-(3)/(2)x^3y^4)

sono numeri decimali periodici, con cui è davvero difficile svolgere le operazioni, ecco perché considereremo le loro frazioni generatrici.

Ricordiamo che la frazione generatrice di un numero periodico è quella frazione che ha:

- al numeratore la differenza tra il numero privato della virgola e il numero formato dalle cifre che non compongono il periodo;

- al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Seguendo la regola, ricaviamo le seguenti frazioni:

 0,083 = (83-8)/(900) = (75)/(900) = (1)/(12) ; 0,3 = (3)/(9) = (1)/(3) ; 1,6 = (16-1)/(9) = (15)/(9) = (5)/(3) ; 2,3 = (23-2)/(9) = (21)/(9) = (7)/(3)

Rimpiazziamo le generatrici al posto dei numeri periodici, cosicché l'espressione

(0,083x^2 y-0,3 x y^2+1,6x-2,3)·(-(3)/(2)x^3y^4) =

diventi

= ((1)/(12)x^(2)y-(1)/(3)xy^2+(5)/(3)x-(7)/(3))·(-(3)/(2)x^(3)y^(4)) =

A questo punto distribuiamo il monomio a ciascun addendo del polinomio

 = (x^2y)/(12)(-(3x^3y^(4))/(2))+(-(xy^2)/(3))(-(3x^3y^4)/(2))+(5x)/(3)(-(3x^3y^4)/(2))+;+(-(7)/(3))(-(3x^3y^4)/(2)) =

e svolgiamo il prodotto tra i vari monomi

 = (1)/(12)·(-(3)/(2))x^(2+3)y^(1+4)+(-(1)/(3))(-(3)/(2))x^(1+3)y^(2+4)+(5)/(3)·(-(3)/(2))x^(3+1)y^(4)+;+(-(7)/(3))(-(3)/(2))x^(3)y^(4) =

Semplifichiamo in croce le frazioni e svolgiamo i prodotti, attenendoci alla regola dei segni per stabilire i loro segni.

 = (1)/(4)·(-(1)/(2))x^(5)y^(5)+(-(1)/(1))(-(1)/(2))x^(4)y^(6)+(5)/(1)·(-(1)/(2))x^(4)y^(4)+;+(-(7)/(1))(-(1)/(2))x^(3)y^(4) = -(1)/(8)x^(5)y^(5)+(1)/(2)x^(4)y^(6)-(5)/(2)x^(4)y^(4)+(7)/(2)x^(3)y^(4)

Abbiamo portato a termine il nostro compito, infatti nel risultato non compaiono monomi simili, per cui esso è già espresso in forma normale, come volevamo!
Ringraziano: asiabianchi
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