Moltiplicazione tra monomio e polinomio con numeri periodici

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Moltiplicazione tra monomio e polinomio con numeri periodici #81061

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio sul prodotto di un monomio per un polinomio a coefficienti decimali periodici. So che devo passare alle frazioni generatrici, però non ricordo più come si fa. Potreste aiutarmi, per favore?

Esprimere in forma canonica il seguente prodotto

\left(0,08\overline{3}x^2 y-0,\overline{3} x y^2+1,\overline{6}x-2,\overline{3}\right)\cdot\left(-\frac{3}{2}x^3y^4\right)

Grazie.
Ringraziano: Galois, CarFaby, LucaLiuk
 
 

Moltiplicazione tra monomio e polinomio con numeri periodici #85022

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare il prodotto di un polinomio per un monomio e per raggiungerlo, basta rifarsi alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Purtroppo i coefficienti dell'espressione

\left(0,08\overline{3}x^2 y-0,\overline{3} x y^2+1,\overline{6}x-2,\overline{3}\right)\cdot\left(-\frac{3}{2}x^3y^4\right)

sono numeri decimali periodici, con cui è davvero difficile svolgere le operazioni, ecco perché considereremo le loro frazioni generatrici.

Ricordiamo che la frazione generatrice di un numero periodico è quella frazione che ha:

- al numeratore la differenza tra il numero privato della virgola e il numero formato dalle cifre che non compongono il periodo;

- al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Seguendo la regola, ricaviamo le seguenti frazioni:

\\ 0,08\overline{3}=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}=\frac{1}{12} \\ \\ \\ 0,\overline{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\\ \\ \\ 1,\overline{6}=\frac{16-1}{9}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}\\ \\ \\ 2,\overline{3}=\frac{23-2}{9}=\frac{21}{9}=\frac{7}{3}

Rimpiazziamo le generatrici al posto dei numeri periodici, cosicché l'espressione

\left(0,08\overline{3}x^2 y-0,\overline{3} x y^2+1,\overline{6}x-2,\overline{3}\right)\cdot\left(-\frac{3}{2}x^3y^4\right)=

diventi

=\left(\frac{1}{12}x^{2}y-\frac{1}{3}xy^2+\frac{5}{3}x-\frac{7}{3}\right)\cdot\left(-\frac{3}{2}x^{3}y^{4}\right)=

A questo punto distribuiamo il monomio a ciascun addendo del polinomio

\\ =\frac{x^2y}{12}\left(-\frac{3x^3y^{4}}{2}\right)+\left(-\frac{xy^2}{3}\right)\left(-\frac{3x^3y^4}{2}\right)+\frac{5x}{3}\left(-\frac{3x^3y^4}{2}\right)+\\ \\ \\ +\left(-\frac{7}{3}\right)\left(-\frac{3x^3y^4}{2}\right)=

e svolgiamo il prodotto tra i vari monomi

\\ =\frac{1}{12}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)x^{2+3}y^{1+4}+\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x^{1+3}y^{2+4}+\frac{5}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)x^{3+1}y^{4}+\\ \\ \\ +\left(-\frac{7}{3}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x^{3}y^{4}=

Semplifichiamo in croce le frazioni e svolgiamo i prodotti, attenendoci alla regola dei segni per stabilire i loro segni.

\\ =\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{5}y^{5}+\left(-\frac{1}{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)x^{4}y^{6}+\frac{5}{1}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{4}y^{4}+\\ \\ \\ +\left(-\frac{7}{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)x^{3}y^{4}=\\ \\ \\ =-\frac{1}{8}x^{5}y^{5}+\frac{1}{2}x^{4}y^{6}-\frac{5}{2}x^{4}y^{4}+\frac{7}{2}x^{3}y^{4}

Abbiamo portato a termine il nostro compito, infatti nel risultato non compaiono monomi simili, per cui esso è già espresso in forma normale, come volevamo!
Ringraziano: asiabianchi
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Os