Sistema di disequazioni goniometriche, esercizio

Mammu chiede, nella sezione Facci la tua domanda, chiede aiuto su un esercizio con un sistema di disequazioni goniometriche

Dato il sistema di disequazioni



è conveniente risolvere le disequazioni una alla volta facendo attenzione specialmente alla seconda. Iniziamo proprio con quest'ultima:



Possiamo immediatamente dividere a destra e sinistra per radice di 3 così da eliminare tale fattore:



A questo punto si può semplicemente sfruttare il valore assoluto per estrarre la cotangente dalla radice:



E notiamo che questo è chiaramente impossibile in quanto per la definizione di modulo deve valere:



La soluzione di questa disequazione goniometrica è l'insieme vuoto e per questa ragione qualsiasi sia il risultato della prima l'intersezione risulta l'insieme vuoto .. diciamo che:



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Prima avevo interpretato male la seconda quindi avevo già risolto la prima.. ti lascio il procedimento in caso ti possa servire ( o potrebbe essere utile a qualche altro utente ):



Prima di procedere con la risoluzione notiamo che l'argomento del seno è riconducibile alla sola incognita ricordando gli angoli associati .. vale infatti:



Riscriviamo perciò la disequazione apportando questa nuova "modifica":



Sfruttiamo adesso la definizione di modulo |a| < b -> - b < a < b



Dividiamo per 2 tutti e tre i termini



A questo punto risolviamo separatamente le due disequazioni per poi ricongiungere le soluzioni!



Chiaramente è un valore notevole e corrisponde al seno di - 60° ( o - 1/3 pigreco ).
Poiché la disequazione richiede che il seno sia maggiore di questo valore possiamo prendere sicuramente l'intervallo tra - 60° e 0° ( dove il seno decresce ) e i primi due quadranti ( dove è sempre positivo ).
Si finisce infine nel terzo quadrante, dove tale disequazione vale fino a 60° + 180° = 240° ( 4/3 pigreco ).

La soluzione finale è



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Risolviamo adesso la seconda disequazione



Di nuovo è un valore notevole e corrisponde al seno di + 60° ( 1/3 pigreco ); possiamo ricavarci le soluzioni come fatto precedentemente.

Il seno nel primo quadrante è crescente, quindi da 0° a 60° la disequazione è verificata;
Nel secondo quadrante è decrescente quindi da 90° + 30° (120°) a 180° la disequazione è di nuovo verificata;
Nel terzo e nel quarto quadrante il seno è negativo quindi la disequazione è sempre verificata;

Nella soluzione finale, poiché nel 3° e 4° è sempre verificata, conviene esprimere l'angolo 120° come negativo così da garantire continuità alla soluzione stessa ( - 4/3 pi = - 240° = 120° ):



Intersechiamo per finire le due soluzioni:

- Nel 1° quadrante la prima è sempre verificata mentre la seconda solo nell'intervallo 0° - 60°.
- Nel 2° quadrante la prima è sempre verificata mentre la seconda solo nell'intervallo 120° - 180°.
- Nel 3° quadrante la seconda è sempre verificata mentre la prima solo nell'intervallo 180° - 240°.
- Nel 4° quadrante la seconda è sempre verificata mentre la prima solo nell'intervallo - 60° - 0° ( 300° - 0° ).

Scriviamo quanto detto sotto forma di 4 soluzioni: