Sistema di disequazioni goniometriche, esercizio

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Sistema di disequazioni goniometriche, esercizio #808

avt
Omega
Amministratore
Mammu chiede, nella sezione Facci la tua domanda, chiede aiuto su un esercizio con un sistema di disequazioni goniometriche

Ho un problema con i sistemi di disequazioni goniometriche, potete aiutarmi?

\left\{\begin{matrix} 2 |\sin{(\pi - x)}| < \sqrt{3}  \\ \sqrt{ 3\cot^{2}{x} } < \sqrt{3}\cot{x} \end{matrix}
 
 

Sistema di disequazioni goniometriche, esercizio #811

avt
frank094
Maestro
Dato il sistema di disequazioni

\left\{\begin{matrix} 2 |\sin{(\pi - x)}| < \sqrt{3}  \\ \sqrt{ 3\cot^{2}{x} } < \sqrt{3}\cot{x} \end{matrix}


è conveniente risolvere le disequazioni una alla volta facendo attenzione specialmente alla seconda. Iniziamo proprio con quest'ultima:

\sqrt{ 3\cot^{2}{x} } < \sqrt{3}\cot{x}


Possiamo immediatamente dividere a destra e sinistra per radice di 3 così da eliminare tale fattore:

\sqrt{ \cot^{2}{x} } < \cot{x}


A questo punto si può semplicemente sfruttare il valore assoluto per estrarre la cotangente dalla radice:

| \cot{x} | < \cot{x}


E notiamo che questo è chiaramente impossibile in quanto per la definizione di modulo deve valere:

\cot{x} \leq |\cot{x}|


La soluzione di questa disequazione goniometrica è l'insieme vuoto e per questa ragione qualsiasi sia il risultato della prima l'intersezione risulta l'insieme vuoto .. diciamo che:

Soluzione \quad \rightarrow \quad \varnothing


-------------------

Prima avevo interpretato male la seconda quindi avevo già risolto la prima.. ti lascio il procedimento in caso ti possa servire ( o potrebbe essere utile a qualche altro utente ):

2 |\sin{(\pi - x)}| < \sqrt{3}


Prima di procedere con la risoluzione notiamo che l'argomento del seno è riconducibile alla sola incognita ricordando gli angoli associati .. vale infatti:

\sin{(\pi - x)} = \sin{x}


Riscriviamo perciò la disequazione apportando questa nuova "modifica":

2 |\sin{x}| < \sqrt{3}


Sfruttiamo adesso la definizione di modulo |a| < b -> - b < a < b

- \sqrt{3} < 2 \sin{x} < \sqrt{3}


Dividiamo per 2 tutti e tre i termini

- \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin{x} < \frac{\sqrt{3}}{2}


A questo punto risolviamo separatamente le due disequazioni per poi ricongiungere le soluzioni!

 - \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin{x}


Chiaramente - \frac{\sqrt{3}}{2} è un valore notevole e corrisponde al seno di - 60° ( o - 1/3 pigreco ).
Poiché la disequazione richiede che il seno sia maggiore di questo valore possiamo prendere sicuramente l'intervallo tra - 60° e 0° ( dove il seno decresce ) e i primi due quadranti ( dove è sempre positivo ).
Si finisce infine nel terzo quadrante, dove tale disequazione vale fino a 60° + 180° = 240° ( 4/3 pigreco ).

La soluzione finale è

- \frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{4 \pi}{3} + 2k\pi


-------------------------------

Risolviamo adesso la seconda disequazione

\sin{x} < \frac{\sqrt{3}}{2}


Di nuovo è un valore notevole e corrisponde al seno di + 60° ( 1/3 pigreco ); possiamo ricavarci le soluzioni come fatto precedentemente.

Il seno nel primo quadrante è crescente, quindi da 0° a 60° la disequazione è verificata;
Nel secondo quadrante è decrescente quindi da 90° + 30° (120°) a 180° la disequazione è di nuovo verificata;
Nel terzo e nel quarto quadrante il seno è negativo quindi la disequazione è sempre verificata;

Nella soluzione finale, poiché nel 3° e 4° è sempre verificata, conviene esprimere l'angolo 120° come negativo così da garantire continuità alla soluzione stessa ( - 4/3 pi = - 240° = 120° ):

- \frac{4 \pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi


Intersechiamo per finire le due soluzioni:

- Nel 1° quadrante la prima è sempre verificata mentre la seconda solo nell'intervallo 0° - 60°.
- Nel 2° quadrante la prima è sempre verificata mentre la seconda solo nell'intervallo 120° - 180°.
- Nel 3° quadrante la seconda è sempre verificata mentre la prima solo nell'intervallo 180° - 240°.
- Nel 4° quadrante la seconda è sempre verificata mentre la prima solo nell'intervallo - 60° - 0° ( 300° - 0° ).

Scriviamo quanto detto sotto forma di 4 soluzioni:

1) \quad 2k \pi \leq x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi

2) \quad \frac{2\pi}{3} + 2k \pi < x \leq \pi + 2k\pi

3) \quad \pi + 2k \pi < x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi

4) \quad - \frac{\pi}{3} + 2k \pi < x < 2k\pi
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os