Riscrivere un quadrinomio come cubo di binomio

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Riscrivere un quadrinomio come cubo di binomio #80761

avt
luc97
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulla scomposizione di un polinomio a esponenti letterali usando la regola relativa al cubo di binomio. Come devo comportarmi quando compaiono lettere agli esponenti? Devo per caso usare le proprietà delle potenze?

Scomporre il polinomio a esponenti letterali

a^{3n+3}-3\cdot 2^{n+1}a^{2n+2}+3\cdot 2^{2n+2}a^{n+1}-2^{3n+3}

trasformandolo nel cubo di un opportuno binomio.

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Riscrivere un quadrinomio come cubo di binomio #81558

avt
PietroDesi
Punto
Consideriamo il polinomio

a^{3n+3}-3\cdot 2^{n+1}a^{2n+2}+3\cdot 2^{2n+2}a^{n+1}-2^{3n+3}

Il nostro intento prevede di usare la regola sul cubo di un binomio

A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=(A+B)^3

ossia il prodotto notevole che consente di fattorizzare lo sviluppo del cubo.

Per poter usare la regola, dobbiamo innanzitutto individuare i termini cubici e ricavarne le basi, nel nostro caso:

- il termine a^{3n+3} è il cubo di a^{n+1}, infatti la regola sulla potenza di una potenza consente di scrivere i seguenti passaggi algebrici:

a^{3n+3}=a^{3(n+1)}=(a^{n+1})^3

- il termine -2^{3n+3} è il cubo di -2^{n+1}, infatti:

-2^{3n+3}=-2^{3(n+1)}=(-2^{n+1})^3

Alla luce di ciò, possiamo affermare che la base del primo cubo è a^{n+1} e la base del secondo è -2^{n+1}

Non abbiamo finito! Dobbiamo controllare che i restanti termini del quadrinomio,

-3\cdot 2^{n+1}a^{2n+2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 3\cdot 2^{2n+2}a^{n+1}

siano effettivamente i tripli prodotti. Calcoliamo il triplo prodotto tra la base del primo cubo al quadrato per la seconda, prestando la massima attenzione ai segni e sfruttando a dovere le proprietà delle potenze

3\cdot(a^{n+1})^2\cdot(-2^{n+1})=3\cdot a^{2(n+1)}\cdot (-2^{n+1})=-3\cdot 2^{n+1}a^{2n+2}

Calcoliamo il triplo prodotto tra la base del primo cubo per il quadrato della base del secondo:

3\cdot (a^{n+1})\cdot (-2^{n+1})^2=3\cdot 2^{2(n+1)}\cdot a^{n+1}=3\cdot 2^{2n+2}a^{n+1}

Ottimo! I termini considerati coincidono con i tripli prodotti, di conseguenza il polinomio iniziale è lo sviluppo del cubo della somma tra le basi a^{n+1} \ \mbox{e} \ -2^{n+1}, vale a dire:

a^{3n+3}-3\cdot 2^{n+1}a^{2n+2}+3\cdot 2^{2n+2}a^{n+1}-2^{3n+3}=(a^{n+1}-2^{n+1})^3

Abbiamo finito.
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