Risolvere equazione irrazionale con indice pari

In un esercizio mi viene chiesto di determinare l'insieme soluzione di un'equazione irrazionale in cui compare un radicale con indice pari. Il risultato dice che l'insieme soluzione è vuoto, mentre secondo i miei calcoli non è così.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione irrazionale

Grazie.

Prima di occuparci dei passaggi algebrici, analizziamo un momento l'equazione irrazionale

o meglio la "struttura" della stessa. Chiaramente non è ancora espressa in forma normale e inoltre compare al secondo membro una radice quadrata. È proprio questa caratteristica che ci spinge a imporre le condizioni di esistenza (o condizioni di realtà delle soluzioni), ricordiamo infatti che una radice con indice pari è ben definita nel momento in cui il proprio radicando è positivo o al più nullo, pertanto scriviamo:

Essa è una disequazione di primo grado che possiamo risolvere isolando l'incognita al primo membro

Nel momento in cui cambiamo i segni ai due membri dobbiamo ricordarci di invertire il verso della disequazione

Deduciamo pertanto che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalla condizione

Ora occupiamoci dei calcoli che ci consentono di scrivere l'equazione irrazionale in forma normale: in termini più espliciti, trasporteremo la radice al primo membro e tutto il resto al secondo

dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per 3, ottenendo in questo modo l'equazione equivalente

Oltre alla condizione di esistenza, nelle equazioni irrazionali con radici a indice bisogna imporre la condizione di concordanza dei membri: affinché sussista l'uguaglianza è necessario che a destra e a sinistra dell'uguale ci siano espressioni che abbiano lo stesso segno.

Il primo membro è certamente positivo o al più nullo perché le radici con indici pari sono non negative per definizione, d'altra parte il secondo membro è un numero negativo, pertanto l'uguaglianza non può sussistere.

Ciò significa che l'equazione irrazionale è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto: .

Ecco fatto!