Prima di occuparci dei passaggi algebrici, analizziamo un momento l'
equazione irrazionale
o meglio la "struttura" della stessa. Chiaramente non è ancora espressa in forma normale e inoltre compare al secondo membro una
radice quadrata. È proprio questa caratteristica che ci spinge a imporre le
condizioni di esistenza (o condizioni di realtà delle soluzioni), ricordiamo infatti che una
radice con indice pari è ben definita nel momento in cui il proprio radicando è positivo o al più nullo, pertanto scriviamo:
Essa è una
disequazione di primo grado che possiamo risolvere isolando l'incognita al primo membro
Nel momento in cui cambiamo i segni ai due membri dobbiamo ricordarci di invertire il verso della disequazione
Deduciamo pertanto che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalla condizione
Ora occupiamoci dei calcoli che ci consentono di scrivere l'equazione irrazionale in forma normale: in termini più espliciti, trasporteremo la radice al primo membro e tutto il resto al secondo
dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per 3, ottenendo in questo modo l'
equazione equivalente
Oltre alla condizione di esistenza, nelle equazioni irrazionali con radici a indice bisogna imporre la condizione di concordanza dei membri: affinché sussista l'uguaglianza è necessario che a destra e a sinistra dell'uguale ci siano espressioni che abbiano lo stesso segno.
Il primo membro è certamente positivo o al più nullo perché le radici con indici pari sono non negative per definizione, d'altra parte il secondo membro è un numero negativo, pertanto l'uguaglianza non può sussistere.
Ciò significa che l'equazione irrazionale è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto:

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Ecco fatto!