Risolvere equazione irrazionale con indice pari

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Risolvere equazione irrazionale con indice pari #80503

avt
♡☆♡
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di determinare l'insieme soluzione di un'equazione irrazionale in cui compare un radicale con indice pari. Il risultato dice che l'insieme soluzione è vuoto, mentre secondo i miei calcoli non è così.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione irrazionale

2=-3\sqrt{3-x}

Grazie.
 
 

Risolvere equazione irrazionale con indice pari #80505

avt
Galois
Coamministratore
Prima di occuparci dei passaggi algebrici, analizziamo un momento l'equazione irrazionale

2=-3\sqrt{3-x}

o meglio la "struttura" della stessa. Chiaramente non è ancora espressa in forma normale e inoltre compare al secondo membro una radice quadrata. È proprio questa caratteristica che ci spinge a imporre le condizioni di esistenza (o condizioni di realtà delle soluzioni), ricordiamo infatti che una radice con indice pari è ben definita nel momento in cui il proprio radicando è positivo o al più nullo, pertanto scriviamo:

3-x\ge 0

Essa è una disequazione di primo grado che possiamo risolvere isolando l'incognita al primo membro

3-x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ -x\ge -3

Nel momento in cui cambiamo i segni ai due membri dobbiamo ricordarci di invertire il verso della disequazione

x\le 3

Deduciamo pertanto che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalla condizione

C.E.:\ x\le 3

Ora occupiamoci dei calcoli che ci consentono di scrivere l'equazione irrazionale in forma normale: in termini più espliciti, trasporteremo la radice al primo membro e tutto il resto al secondo

2=-3\sqrt{3-x} \ \ \ \to \ \ \ 3\sqrt{3-x}=-2

dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per 3, ottenendo in questo modo l'equazione equivalente

\sqrt{3-x}=-\frac{2}{3}

Oltre alla condizione di esistenza, nelle equazioni irrazionali con radici a indice bisogna imporre la condizione di concordanza dei membri: affinché sussista l'uguaglianza è necessario che a destra e a sinistra dell'uguale ci siano espressioni che abbiano lo stesso segno.

Il primo membro è certamente positivo o al più nullo perché le radici con indici pari sono non negative per definizione, d'altra parte il secondo membro è un numero negativo, pertanto l'uguaglianza non può sussistere.

Ciò significa che l'equazione irrazionale è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto: S=\emptyset.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Julien
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Os