Esercizio equazione irrazionale con indice 2

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Esercizio equazione irrazionale con indice 2 #80462

avt
Fedro93
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere una semplice equazione irrazionale in cui compare una radice con indice pari e a coefficienti fratti. Ho tentato di svolgere i passaggi algebrici, però i risultati non coincidono con quelli del libro.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione irrazionale

3\sqrt{x+\frac{1}{2}}=3

Grazie.
Ringraziano: Ghirone
 
 

Esercizio equazione irrazionale con indice 2 #80466

avt
Galois
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel risolvere l'equazione irrazionale

3\sqrt{x+\frac{1}{2}}=3

in cui è presenta una radice con indice pari. Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico bisogna quindi imporre le dovute condizioni di esistenza delle soluzioni, richiederemo cioè che il radicando sia maggiore o al più uguale a zero.

C.E.: \ x+\frac{1}{2}\ge 0

Il vincolo che definisce l'insieme di esistenza è a conti fatti una disequazione di primo grado risolvibile isolando l'incognita al primo membro

x+\frac{1}{2}\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -\frac{1}{2}

Trovata questa condizione, procediamo con i passaggi algebrici con i quali scriveremo l'equazione irrazionale in forma normale. In termini più espliciti, dobbiamo fare in modo che al primo membro ci sia esclusivamente il radicale, tutto il resto dovrà trovarsi al secondo: nel caso in esame, dobbiamo dividere i due membri per 3 ottenendo così l'equazione equivalente

\sqrt{x+\frac{1}{2}}=\frac{3}{3} \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{x+\frac{1}{2}}=1

Dal punto di vista puramente teorico, dovremmo imporre la cosiddetta condizione di concordanza dei membri: affinché sussista l'uguaglianza, i due membri devono avere il medesimo segno e poiché la radice con indice pari è positiva o al più nulla, il secondo membro deve soddisfare la condizione

1\ge 0

che è vera indipendentemente dal valore assunto da x.

Appurato ciò, possiamo continuare con la risoluzione elevando al quadrato i membri della relazione

\sqrt{x+\frac{1}{2}}=1

e scrivere

\left(\sqrt{x+\frac{1}{2}}\right)^2=1^2

In accordo con la definizione di radice quadrata, possiamo semplificare il quadrato con la radice, riconducendoci così a un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita a sinistra dell'uguale

x+\frac{1}{2}=1 \ \ \ \to \ \ \ x=1-\frac{1}{2} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{2}

Il valore ottenuto rispetta la condizione di esistenza, ecco perché esso è una soluzione dell'equazione irrazionale. In definitiva

3\sqrt{x+\frac{1}{2}}=3

è un'equazione determinata e il suo insieme soluzione è

S=\left\{\frac{1}{2}\right\}

Equazione risolta!
Ringraziano: Omega, CarFaby, Fedro93
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Os