Polinomio con due indeterminate e regola di Ruffini

Mi è capitato un esercizio molto particolare sulla regola di Ruffini che non sono in grado di risolvere. In buona sostanza dovrei scomporre un polinomio in due variabili con il metodo di Ruffini, solo che non capisco come innescare il metodo.

Se possibile, scomporre il seguente polinomio in due variabili con la regola di Ruffini



rispetto alla lettera .

Grazie.

Consideriamo il polinomio



Il nostro compito consiste nell'usare la regola di Ruffini per scomporre rispetto alla lettera .

Nota bene: è fondamentale conoscere la lettera secondo cui scomporre un polinomio in più variabili, perché non saremmo in grado di stabilire quali sono i suoi coefficienti.

La traccia dell'esercizio ci informa che dobbiamo scomporre rispetto alla lettera , ciò significa che:

- la lettera funge da variabile;

- la lettera funge da parametro per , dunque dovremmo trattarlo come se fosse un numero.

Alla luce di ciò, esplicitiamo i coefficienti!

- il coefficiente di è e rappresenta il coefficiente direttivo;

- il coefficiente di è ;

- il termine noto è .

Per poter innescare la regola di Ruffini, abbiamo bisogno di una radice di , ossia di un valore che sostituito ad fa sì che il polinomio si annulli.

Ricerchiamo le radici nella forma , dove è un divisore intero del termine noto e è un divisore intero del coefficiente direttivo.

I divisori del monomio , con segno, sono:



mentre i divisori interi del coefficiente direttivo sono



A questo punto costruiamo l'insieme delle frazioni aventi a numeratore un divisore di e a denominatore un divisore di 2



Tra questi valori si nasconde (almeno) una radice che consente di innescare la regola: per ricavarla è sufficiente sostituire ciascun valore al posto della lettera nel polinomio e svolgere i calcoli nella speranza che il risultato sia nullo.

Per , il polinomio diventa



In accordo con la teoria, si scompone come prodotto tra e il polinomio di primo grado i cui coefficienti si ricavano dallo schema di Ruffini.

Costruiamo quindi la tabella inserendo nella prima riga i coefficienti di , ordinati secondo le potenze decrescenti di , e riportando la radice come primo elemento della seconda riga:



Riportiamo in basso il 2



e moltiplichiamolo per la radice , incolonnando il prodotto sotto .



Addizioniamo e incolonniamo la somma sotto la linea orizzontale



Ripetiamo il ragionamento: moltiplichiamo , riportiamo il risultato sotto e infine sommiamo:



L'ultima riga della tabella è composta dai coefficienti di , ordinati secondo le potenze decrescenti di



In definitiva, siamo autorizzati a concludere che la scomposizione di è



Abbiamo finito.