Polinomio con due indeterminate e regola di Ruffini

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Polinomio con due indeterminate e regola di Ruffini #80386

avt
ValerioPulcini
Punto
Mi è capitato un esercizio molto particolare sulla regola di Ruffini che non sono in grado di risolvere. In buona sostanza dovrei scomporre un polinomio in due variabili con il metodo di Ruffini, solo che non capisco come innescare il metodo.

Se possibile, scomporre il seguente polinomio in due variabili con la regola di Ruffini

P(a)=2a^2-5ab+2b^2

rispetto alla lettera a.

Grazie.
Ringraziano: Galois, CarFaby
 
 

Polinomio con due indeterminate e regola di Ruffini #80396

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il polinomio

P(a)=2a^2-5ab+2b^2

Il nostro compito consiste nell'usare la regola di Ruffini per scomporre P(a) rispetto alla lettera a.

Nota bene: è fondamentale conoscere la lettera secondo cui scomporre un polinomio in più variabili, perché non saremmo in grado di stabilire quali sono i suoi coefficienti.

La traccia dell'esercizio ci informa che dobbiamo scomporre P(a) rispetto alla lettera a, ciò significa che:

- la lettera a funge da variabile;

- la lettera b funge da parametro per P(a), dunque dovremmo trattarlo come se fosse un numero.

Alla luce di ciò, esplicitiamo i coefficienti!

- il coefficiente di a^2 è 2 e rappresenta il coefficiente direttivo;

- il coefficiente di a è -5b;

- il termine noto è 2b^2.

Per poter innescare la regola di Ruffini, abbiamo bisogno di una radice di P(a), ossia di un valore che sostituito ad a fa sì che il polinomio si annulli.

Ricerchiamo le radici nella forma \frac{p}{q}, dove p è un divisore intero del termine noto e q è un divisore intero del coefficiente direttivo.

I divisori del monomio 2b^2, con segno, sono:

\mbox{Divisori interi di }2b^2=\{\pm 1, \ \pm 2, \ \pm b,\ \pm 2b, \ \pm b^2, \ \pm 2b^2\}

mentre i divisori interi del coefficiente direttivo sono

\mbox{Divisori interi di }2=\{\pm 1, \ \pm 2\}

A questo punto costruiamo l'insieme delle frazioni aventi a numeratore un divisore di 2b^2 e a denominatore un divisore di 2

\left\{\pm 1, \ \pm 2, \ \pm b, \ \pm\frac{b}{2}, \ \pm 2b, \ \pm b^2, \ \pm \frac{b^2}{2},\ \pm 2b^2\right\}

Tra questi valori si nasconde (almeno) una radice che consente di innescare la regola: per ricavarla è sufficiente sostituire ciascun valore al posto della lettera a nel polinomio e svolgere i calcoli nella speranza che il risultato sia nullo.

Per a=2b, il polinomio diventa

P(2b)=2\cdot (2b)^2-5\cdot (2b)\cdot b+2b^2=8b^2-10b^2+2b^2=0

In accordo con la teoria, P(a) si scompone come prodotto tra a-2b e il polinomio di primo grado Q(a) i cui coefficienti si ricavano dallo schema di Ruffini.

Costruiamo quindi la tabella inserendo nella prima riga i coefficienti di P(a), ordinati secondo le potenze decrescenti di a, e riportando la radice 2b come primo elemento della seconda riga:

\begin{array}{c|ccc|c}&2&&-5b&2b^2\\ &&&& \\ 2b&&&& \\ \hline &&&&\end{array}

Riportiamo in basso il 2

\begin{array}{c|ccc|c}&2&&-5b&2b^2\\ &&&& \\ 2b&&&& \\ \hline &2&&&\end{array}

e moltiplichiamolo per la radice 2b, incolonnando il prodotto sotto -5b.

\begin{array}{c|ccc|c}&2&&-5b&2b^2\\ &&&& \\ 2b&&&4b& \\ \hline &2&&&\end{array}

Addizioniamo -5b\ \mbox{e} \ 4b e incolonniamo la somma sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccc|c}&2&&-5b&2b^2\\ &&&& \\ 2b&&&4b& \\ \hline &2&&-b&\end{array}

Ripetiamo il ragionamento: moltiplichiamo 2b\ \mbox{e} \ -b, riportiamo il risultato sotto 2b^2 e infine sommiamo:

\begin{array}{c|ccc|c}&2&&-5b&2b^2\\ &&&& \\ 2b&&&4b& -2b^2\\ \hline &2&&-b& //\end{array}

L'ultima riga della tabella è composta dai coefficienti di Q(a), ordinati secondo le potenze decrescenti di a

Q(a)=2a-b

In definitiva, siamo autorizzati a concludere che la scomposizione di P(a) è

P(a)=(a-2b)Q(b)=(a-2b)(2a-b)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, CarFaby, ValerioPulcini
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Os