Equazione di grado superiore al secondo con frazioni di frazioni

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Equazione di grado superiore al secondo con frazioni di frazioni #79882

avt
Braccobald
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione fratta a coefficienti irrazionali in cui è presente una frazione di frazioni algebriche. Il capitolo da cui è tratto l'esercizio riguarda le equazioni scomponibili di grado superiore al secondo, deduco quindi che dovrei ricondurmi a un'equazione di questo tipo.

Risolvere la seguente equazione fratta

\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{x^5}}{\frac{1}{x^3}+\frac{\sqrt{2}}{x^2}}=\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x^2-x^3}{x^3-1}

Grazie.
 
 

Equazione di grado superiore al secondo con frazioni di frazioni #79885

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione fratta

\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{x^5}}{\frac{1}{x^3}+\frac{\sqrt{2}}{x^2}}=\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x^2-x^3}{x^3-1}

bisogna innanzitutto imporre le corrette condizioni di esistenza: proprio perché non è possibile dividere per zero richiederemo che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli.

Attenzione! Nel primo membro compare una frazione di frazioni la cui esistenza è vincolata dalla non nullità del denominatore principale.

In termini più espliciti, le condizioni cui deve sottostare x sono:

\\ x^5\ne 0 \  \ \ \to \ \ \ x\ne 0 \\ \\ x^3\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0 \\ \\ x^2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0

inoltre, la richiesta di non nullità del denominatore principale si traduce nella disuguaglianza

\frac{1}{x^3}+\frac{\sqrt{2}}{x^2}\ne 0

da cui sommando tra loro le frazioni algebriche

\frac{1+\sqrt{2}x}{x^3}\ne 0

Cancellando il denominatore, ci riconduciamo a una disuguaglianza che trattiamo alla stregua di un'equazione di primo grado

1+\sqrt{2}x\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne-\frac{1}{\sqrt{2}}

Occupiamoci dei denominatori al secondo membro: la condizione

x^2+x+1\ne 0

equivale a escludere i valori che soddisfanno l'equazione di secondo grado

x^2+x+1= 0

che analizziamo con la formula del delta. Indicati con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=1 \ \ \ , \ \ \ c=1

ricaviamo che il discriminante associato è

\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3

La negatività del delta garantisce l'inesistenza di alcun numero reale che realizza l'equazione. Scopriamo quindi che la relazione

x^2+x+1\ne 0

è sempre vera, indipendentemente dal valore assunto da x.

Per quanto concerne il denominatore x^3-1, esso è diverso da zero se e solo se x\ne 1, infatti:

x^3-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x^3\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

In buona sostanza, abbiamo trattato la disuguaglianza alla stregua di un'equazione binomia.

Deduciamo quindi che l'insieme di esistenza delle soluzioni associato all'equazione è dettato dalle seguenti condizioni

C.E. \ : x\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 1 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -\frac{1}{\sqrt{2}}

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Una volta stabilite le condizioni per le quali l'equazione ha senso, possiamo eseguire i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma normale. Chiaramente sarebbe auspicabile cercare di ridurre al minimo il numero di calcoli.

Al primo membro, eseguiamo la somma tra le frazioni algebriche sia al numeratore principale che al denominatore, al secondo membro scomponiamo la differenza di cubi x^3-1

\frac{\frac{x^5+\sqrt{2}}{x^5}}{\frac{1+\sqrt{2}x}{x^3}}=\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x^2-x^3}{(x-1)(x^2+x+1)}

Esprimiamo la frazione di frazioni in forma normale moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore e nel frattempo calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore del secondo membro

\frac{x^5+\sqrt{2}}{x^5}\cdot\frac{x^3}{1+\sqrt{2}x}=\frac{(x+1)(x-1)-x^2+x^3}{(x-1)(x^2+x+1)}

Eseguiamo il prodotto tra le frazioni algebriche al primo membro, semplificando in croce x^5 con x^3, mentre al secondo membro sviluppiamo la differenza di quadrati e sommiamo tra loro i monomi simili

\\ \frac{x^5+\sqrt{2}}{x^5}\cdot\frac{x^3}{1+\sqrt{2}x}=\frac{x^2-1-x^2+x^3}{(x-1)(x^2+x+1)} \\ \\ \\ \frac{x^5+\sqrt{2}}{x^2(1+\sqrt{2}x)}=\frac{x^3-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

È fondamentale notare a questo punto scomporre la differenza di cubi al numeratore del secondo membro: tale passaggio ci consentirà di semplificare notevolmente l'espressione dell'equazione

\\ \frac{x^5+\sqrt{2}}{x^2(1+\sqrt{2}x)}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} \\ \\ \\ \frac{x^5+\sqrt{2}}{x^2(1+\sqrt{2}x)}=1

Trasportiamo tutti i termini al primo membro e determiniamo il minimo comun denominatore

\\ \frac{x^5+\sqrt{2}}{x^2(1+\sqrt{2}x)}-1=0 \\ \\ \\ \frac{x^5+\sqrt{2}-x^2(1+\sqrt{2}x)}{x^2(1+\sqrt{2}x)}=0

Interviene a questo punto il secondo principio di equivalenza delle equazioni, che sotto i vincoli delle condizioni di esistenza, consente di cancellare il denominatore ottenendo così l'equazione equivalente

x^5+\sqrt{2}-x^2(1+\sqrt{2}x)=0

da cui

x^5-\sqrt{2}x^3-x^2+\sqrt{2}=0

Abbiamo ottenuto un'equazione di grado superiore al secondo risolvibile mediante un semplice raccoglimento parziale.

Infatti, se raccogliamo x^3 tra i primi due termini e un segno meno negli ultimi due, l'equazione si riscrive come

x^3(x^2-\sqrt{2})-(x^2-\sqrt{2})=0

Mettendo infine in evidenza il fattore comune x^2-\sqrt{2}, ricaviamo

(x^3-1)(x^2-\sqrt{2})=0

A questo punto sfruttiamo a nostro vantaggio la legge di annullamento del prodotto la quale assicura che il prodotto al primo membro è uguale a zero se e solo se sussiste almeno una delle seguenti equazioni

x^3-1=0 \ \ \ \ ,\  \ \ x^2-\sqrt{2}=0

La prima è una semplice equazione binomia soddisfatta per x=1 infatti

x^3-1=0 \ \ \ \to \ \ \ x^3=1 \ \ \ \to \ \ \ x=1

La seconda è un'equazione pura

x^2-\sqrt{2}=0\ \ \ \to \ \ \ x^2=\sqrt{2}

da cui, estraendo la radice quadrata

x=\pm\sqrt{\sqrt{2}}

In virtù della proprietà sulla radice di una radice, possiamo esprimere il risultato sotto forma di un unico radicale con indice uguale al prodotto degli indici delle due radici

x=\pm\sqrt[4]{2}

Tutti questi calcoli hanno fornito tre valori

x=1 \ \ \ , \ \ \ x=-\sqrt[4]{2} \ \ \ , \ \ \ x=\sqrt[4]{2}

di cui però solo gli ultimi due rispettano le condizioni di esistenza, per cui sono a tutti gli effetti soluzioni dell'equazione iniziale. Il valore x=1 viola la condizione x\ne 1, pertanto è un falso positivo.

In definitiva, l'equazione è soddisfatta per:

x=-\sqrt[4]{2} \ \ \ , \ \ \ x=\sqrt[4]{2}

dunque il suo insieme soluzione è dato da

S=\left\{-\sqrt[4]{2},\ \sqrt[4]{2}\right\}

Abbiamo finito!
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