Esercizio su scomposizione con Ruffini e polinomio di grado 3

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Esercizio su scomposizione con Ruffini e polinomio di grado 3 #79696

avt
Julien
Cerchio
Non riesco ad applicare la regola di Ruffini per scomporre un polinomio di terzo grado. Più che altro, non capisco quale sia il numero che permetta di innescare il metodo.

Utilizzare la regola di Ruffini per scomporre il seguente polinomio di terzo grado

P(x)=24x^3-26x^2+9x-1

Grazie.
Ringraziano: Galois, CarFaby
 
 

Esercizio su scomposizione con Ruffini e polinomio di grado 3 #79697

avt
Galois
Coamministratore
L'esercizio chiede di scomporre il polinomio

P(x)=24x^3-26x^2+9x-1

con la regola di Ruffini. Per portare a termine il nostro compito analizziamo il polinomio:

- esso è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x;

- il coefficiente del termine di grado massimo - detto coefficiente direttivo - è 24;

- il termine noto è -1.

Per poter innescare il metodo di Ruffini, abbiamo bisogno di (almeno) una radice razionale del polinomio, ossia una frazione \frac{p}{q} che annulla il polinomio una volta sostituita a x.

Sia chiaro che non dobbiamo procedere a casaccio, tutt'altro! La regola di Ruffini fornisce le caratteristiche della radice \frac{p}{q}:

- il numeratore p dev'essere un divisore intero (o divisore con segno) del termine noto;

- il denominatore q dev'essere un divisore intero del coefficiente direttore.

Calcoliamo i divisori interi del termine noto -1

\mbox{Divisori interi di }-1= \{\pm 1\}

e i divisori interi del coefficiente direttore 24

\mbox{Divisori interi di }24=\{\pm 1, \ \pm 2 , \ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 8,\ \pm 12, \ \pm 24\}

Con le informazioni ottenute, possiamo affermare che la radice del polinomio appartiene necessariamente all'insieme

\left\{\pm 1, \ \pm \frac{1}{2}, \ \pm\frac{1}{3}, \ \pm\frac{1}{4}, \ \pm\frac{1}{6}, \ \pm\frac{1}{8}, \ \pm\frac{1}{12}, \ \pm\frac{1}{24}\right\}

Tra questi, cerchiamo un valore che annulli il polinomio: la radice che fa al caso nostro è \frac{1}{2}, infatti

\\ P\left(\frac{1}{2}\right)=24\left(\frac{1}{2}\right)^3-26\left(\frac{1}{2}\right)^2+9\left(\frac{1}{2}\right)-1=\\ \\ \\ =24\cdot\frac{1}{8}-26\cdot\frac{1}{4}+\frac{9}{2}-1= \\ \\ \\ = 3-\frac{13}{2}+\frac{9}{2}-1=\frac{6-13+9-2}{2}=0

In base alla regola di Ruffini, possiamo esprimere il polinomio P(x) come prodotto tra il binomio x-\frac{1}{2} e un polinomio di secondo grado Q(x) da determinare.

P(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)Q(x)

Il prossimo passaggio consiste nel calcolare i coefficienti del polinomio Q(x), usando la tabella di Ruffini: essa è formata da due linee verticali tagliate da una linea orizzontale.

\begin{array}{c|ccccc|c}&&&&&&\\ &&&&&&\\ &&&&&& \\ \hline &&&&&&\end{array}

Riempiamo la tabella inserendo in alto i coefficienti del polinomio P(x) ordinati secondo le potenze decrescenti di x. Ricordate di:

- lasciare in bianco lo spazio prima della linea verticale sinistra;

- trascrivere il termine noto dopo la linea verticale destra!

Il primo elemento della seconda riga è \frac{1}{2}, ossia la radice razionale che abbiamo trovato.

\begin{array}{c|ccccc|c}&24&&-26&&9&-1\\ &&&&&&\\ \frac{1}{2}&&&&&& \\ \hline &&&&&&\end{array}

Da qui in poi è solo una mera questione di calcoli!

Scriviamo 24 sotto la riga orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&24&&-26&&9&-1\\ &&&&&&\\ \frac{1}{2}&&&&&& \\ \hline &24&&&&&\end{array}

moltiplichiamolo per \frac{1}{2} e scriviamo il risultato sotto -26

\begin{array}{c|ccccc|c}&24&&-26&&9&-1\\ &&&&&&\\ \frac{1}{2}&&&12&&& \\ \hline &24&&&&&\end{array}

Sommiamo -26 e 12, riportando il totale sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&24&&-26&&9&-1\\ &&&&&&\\ \frac{1}{2}&&&12&&& \\ \hline &24&&-14&&&\end{array}

Moltiplichiamo tra loro -14\ \mbox{e} \ \frac{1}{2} e riportiamo il risultato sotto il numero 9

\begin{array}{c|ccccc|c}&24&&-26&&9&-1\\ &&&&&&\\ \frac{1}{2}&&&12&&-7& \\ \hline &24&&-14&&&\end{array}

Sommiamo 9 e -7, riportando il risultato sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&24&&-26&&9&-1\\ &&&&&&\\ \frac{1}{2}&&&12&&-7& \\ \hline &24&&-14&&2&\end{array}

Ancora un'ultima volta, moltiplichiamo tra loro \frac{1}{2}\ \mbox{e} \ 2, scriviamo il risultato sotto -1 e infine sommiamo

\begin{array}{c|ccccc|c}&24&&-26&&9&-1\\ &&&&&&\\ \frac{1}{2}&&&12&&-7& 1\\ \hline &24&&-14&&2&// \end{array}

Nota: nel contesto delle scomposizioni, l'ultima somma dev'essere necessariamente nulla: se così non fosse, ci sarà necessariamente un errore nell'esercizio.

Gli elementi dell'ultima riga

24 \ \ \ , \ \ \ -14 \ \ \ , \ \ \ 2

sono i coefficienti del polinomio Q(x) la cui espressione è:

Q(x)=24x^2-14x+2

Il polinomio P(x) si esprime come segue:

\\ P(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)Q(x)=\\ \\ \\ =\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(24x^2-12x+2\right)=

Purtroppo l'esercizio non è concluso: vi è la possibilità che il polinomio di secondo grado

Q(x)=24x^2-12x+2

sia ulteriormente fattorizzabile. Pescando dall'insieme

\left\{\pm 1, \ \pm \frac{1}{2}, \ \pm\frac{1}{3}, \ \pm\frac{1}{4}, \ \pm\frac{1}{6}, \ \pm\frac{1}{8}, \ \pm\frac{1}{12}, \ \pm\frac{1}{24}\right\}

la radice razionale che consente di usare la regola di Ruffini è \frac{1}{3}, infatti

\\ Q\left(\frac{1}{3}\right)=24\left(\frac{1}{3}\right)^2-12\left(\frac{1}{3}\right)+2= \\ \\ \\ = 24\cdot\frac{1}{9}-12\cdot\frac{1}{3}+2= \\ \\ \\ =\frac{8}{3}-\frac{14}{3}+2=\frac{8-14+6}{3}=0

In base alla teoria, Q(x) si scompone come:

Q(x)=\left(x-\frac{1}{3}\right)Q_{1}(x)

dove Q_{1}(x) è un polinomio di primo grado da determinare. Impostiamo la tabella di Ruffini e portiamo a termine i calcoli seguendo lo stesso ragionamento precedente

\begin{array}{c|ccc|c}&24&&-14&2\\&&&&\\ \frac{1}{3}&&&8&-2 \\ \hline &24&&-6&//\end{array}

Ricaviamo quindi che il polinomio Q_{1}(x) è:

Q_{1}(x)=24x-6

di conseguenza

Q(x)=\left(x-\frac{1}{3}\right)(24x-6)

In conclusione:

P(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)Q(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right) \left(x-\frac{1}{3}\right)(24x-6)=

Nota: è possibile effettuare qualche passaggio algebrico in più per poter esprimere la scomposizione in maniera più elegante.

Raccogliamo 6 dall'ultimo fattore

=\left(x-\frac{1}{2}\right) \left(x-\frac{1}{3}\right)\cdot 6(4x-1)=

e scomponiamolo come prodotto di 2 e 3. A questo punto, moltiplichiamo x-\frac{1}{2} per 2 e x-\frac{1}{3} per 3

\\ =2\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot 3\left(x-\frac{1}{3}\right)(4x-1)= \\ \\ =(2x-1)(3x-1)(4x-1)

pertanto

P(x)=24x^3-26x^2+9x-1=(2x-1)(3x-1)(4x-1)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os