Esercizio equazione fratta trigonometrica con seno e coseno

Dovrei determinare le soluzioni di un'equazione goniometrica fratta, espressa in seni e coseni. Dopo aver ricavato le condizioni di esistenza, non so come continuare: devo per caso usare le formule goniometriche? Se sì, quali?

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:



Grazie per l'aiuto.

Consideriamo l'equazione fratta espressa in termini di seno e coseno



Il nostro obiettivo consiste nel determinare i valori di che realizzano l'uguaglianza, ma prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, bisogna imporre le condizioni di esistenza: basta richiedere che il denominatore sia non nullo, ossia



Analizziamo la relazione trattandola alla stregua di un'equazione goniometrica. Trasportiamo 1 al secondo membro



cambiamo i segni



e sfruttiamo la formula di duplicazione del seno con cui la relazione diventa



dove è un numero intero.

Possiamo affermare pertanto che l'equazione fratta è ben posta se l'incognita sottostà al seguente vincolo:



Ritorniamo all'equazione di partenza, ossia:



Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, siamo autorizzati a cancellare il denominatore e a ricondurci all'equazione:



Purtroppo non è espressa in alcuna forma nota, ma non disperiamo! Possiamo procedere con un raccoglimento parziale che consente di scomporre l'equazione.

Più precisamente mettiamo in evidenza tra i primi due termini e -1 dagli ultimi due



infine raccogliamo totalmente il fattore comune



A questo punto, basta ricordare che il prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero (è la legge di annullamento del prodotto) e scrivere:



dove è il connettivo logico che indica la disgiunzione inclusiva "o".

Analizziamo separatamente le due equazioni goniometriche, le cui soluzioni si ricavano agilmente con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche.



da cui



dove è un numero intero. Si noti che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione iniziale perché rispettano le condizioni di esistenza, infatti per ogni



Dall'equazione goniometrica



ricaviamo due famiglie di soluzioni



con è un numero intero. Anche in questo caso, al variare di i valori soddisfano le condizioni di esistenza, pertanto sono soluzioni dell'equazione iniziale.

In conclusione, l'equazione fratta



è soddisfatta dai valori



con .

Ecco fatto!