Esercizio equazione fratta trigonometrica con seno e coseno

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Esercizio equazione fratta trigonometrica con seno e coseno #79671

avt
AlienoMate
Punto
Dovrei determinare le soluzioni di un'equazione goniometrica fratta, espressa in seni e coseni. Dopo aver ricavato le condizioni di esistenza, non so come continuare: devo per caso usare le formule goniometriche? Se sì, quali?

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:

\frac{4\sin(x)\cos(x)-2\sin(x)-2\cos(x)+1}{1-2\sin(x)\cos(x)}=0

Grazie per l'aiuto.
 
 

Esercizio equazione fratta trigonometrica con seno e coseno #79685

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione fratta espressa in termini di seno e coseno

\frac{4\sin(x)\cos(x)-2\sin(x)-2\cos(x)+1}{1-2\sin(x)\cos(x)}=0

Il nostro obiettivo consiste nel determinare i valori di x che realizzano l'uguaglianza, ma prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, bisogna imporre le condizioni di esistenza: basta richiedere che il denominatore sia non nullo, ossia

C.E.:\ 1-2\sin(x)\cos(x)\ne 0

Analizziamo la relazione trattandola alla stregua di un'equazione goniometrica. Trasportiamo 1 al secondo membro

-2\sin(x)\cos(x)\ne -1

cambiamo i segni

2\sin(x)\cos(x)\ne 1

e sfruttiamo la formula di duplicazione del seno con cui la relazione diventa

\sin(2x)\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ 2x\ne \frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne \frac{\pi}{4}+k\pi

dove k è un numero intero.

Possiamo affermare pertanto che l'equazione fratta è ben posta se l'incognita sottostà al seguente vincolo:

C.E.:\ x\ne\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Ritorniamo all'equazione di partenza, ossia:

\frac{4\sin(x)\cos(x)-2\sin(x)-2\cos(x)+1}{1-2\sin(x)\cos(x)}=0

Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, siamo autorizzati a cancellare il denominatore e a ricondurci all'equazione:

4\sin(x)\cos(x)-2\sin(x)-2\cos(x)+1=0

Purtroppo non è espressa in alcuna forma nota, ma non disperiamo! Possiamo procedere con un raccoglimento parziale che consente di scomporre l'equazione.

Più precisamente mettiamo in evidenza 2\sin(x) tra i primi due termini e -1 dagli ultimi due

2\sin(x)[2\cos(x)-1]-[2\cos(x)-1]=0

infine raccogliamo totalmente il fattore comune 2\cos(x)-1

[2\cos(x)-1]\cdot[2\sin(x)-1]=0

A questo punto, basta ricordare che il prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero (è la legge di annullamento del prodotto) e scrivere:

2\cos(x)-1=0 \ \ \ \vee \ \ \ 2\sin(x)-1=0

dove \vee è il connettivo logico che indica la disgiunzione inclusiva "o".

Analizziamo separatamente le due equazioni goniometriche, le cui soluzioni si ricavano agilmente con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche.

2\cos(x)-1=0 \ \ \ \to \ \ \ \cos(x)=\frac{1}{2}

da cui

x=-\frac{\pi}{3}+2h\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{\pi}{3}+2h\pi

dove h è un numero intero. Si noti che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione iniziale perché rispettano le condizioni di esistenza, infatti per ogni h

-\frac{\pi}{3}+2h\pi\ne \frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{\pi}{3}+2h\pi\ne \frac{\pi}{4}+k\pi

Dall'equazione goniometrica

2\sin(x)-1=0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)=\frac{1}{2}

ricaviamo due famiglie di soluzioni

x=\frac{\pi}{6}+2h\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{5\pi}{6}+2h\pi

con h è un numero intero. Anche in questo caso, al variare di h i valori soddisfano le condizioni di esistenza, pertanto sono soluzioni dell'equazione iniziale.

In conclusione, l'equazione fratta

\frac{4\sin(x)\cos(x)-2\sin(x)-2\cos(x)+1}{1-2\sin(x)\cos(x)}=0

è soddisfatta dai valori

\\ x=-\frac{\pi}{3}+2h\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{\pi}{3}+2h\pi \\ \\ x=\frac{\pi}{6}+2h\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{5\pi}{6}+2h\pi

con h\in\mathbb{Z}.

Ecco fatto!
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Os