Equazione fratta di grado superiore al secondo

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Equazione fratta di grado superiore al secondo #79462

avt
Vostok
Punto
Ho riscontrato molte problematicità nel risolvere un'equazione fratta che a quanto pare si riconduce a un'equazione scomponibile di grado superiore al secondo. Suppongo che gli errori che commetto risiedano nei passaggi algebrici: sicuramente commetto qualche errore di calcolo.

Calcolare le soluzioni reali dell'equazione fratta

1-2x+\frac{1}{2(x-1)}=\frac{9}{2(1+x)}-x^2

dopo aver imposto le opportune condizioni di esistenza.
Ringraziano: Omega, Galois
 
 

Equazione fratta di grado superiore al secondo #79463

avt
Galois
Coamministratore
Prima di calcolare le eventuali soluzioni reali dell'equazione fratta

1-2x+\frac{1}{2(x-1)}=\frac{9}{2(1+x)}-x^2

bisogna impostare le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. Dobbiamo quindi richiedere che sussistano le disuguaglianze:

\\ 2(x-1)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x-1\ne 0 \ \ \ x\ne 1 \\ \\ 2(x+1)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne-1

da cui deduciamo che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalle condizioni

C.E.: \ x\ne -1 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 1

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Una volta individuato il C.E., siamo autorizzati a effettuare quei passaggi mediante i quali ci riconduciamo alla forma normale dell'equazione.

In primis, trasportiamo tutti i termini al primo membro, cambiando i segni di quei termini che attraversano il simbolo di uguaglianza

1-2x+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{9}{2(1+x)}+x^2=0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

\frac{2(1-2x)(x+1)(x-1)+x+1-9(x-1)+2x^2(x+1)(x-1)}{2(x+1)(x-1)}=0

Per questioni di comodità, sviluppiamo preliminarmente i prodotti (x+1)(x-1) utilizzando la regola sulla differenza di quadrati.

\frac{2(1-2x)(x^2-1)+x+1-9x+9+2x^2(x^2-1)}{2(x+1)(x-1)}=0

Portiamo a termine i prodotti

\frac{-2+4x+2x^2-4x^3+x+1-9x+9+2x^4-2x^2}{2(x+1)(x-1)}=0

e sommiamo tra loro i monomi simili

\frac{2x^4-4x^3-4x+8}{2(x+1)(x-1)}=0

Interviene a questo punto il secondo principio di equivalenza delle equazioni che sotto i vincoli delle condizioni di esistenza consente di cancellare il denominatore e di considerare l'equazione equivalente

2x^4-4x^3-4x+8=0

Più precisamente, è un'equazione scomponibile infatti possiamo ridurre il polinomio al primo membro come prodotto di polinomi di grado inferiore. Per convincersene, è sufficiente avvalersi del raccoglimento parziale: raccogliamo 2x^3 tra i primi due termini e -4 tra gli ultimi due

2x^3(x-2)-4(x-2)=0

dopodiché raccogliamo il fattore comune x-2

(x-2)(2x^3-4)=0

A questo punto non ci resta che utilizzare la legge di annullamento del prodotto, con cui ricaviamo le seguenti relazioni

x-2=0 \ \ \  , \ \ \ 2x^3-4=0

La prima è una semplice equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

x-2=0 \ \ \ \to \ \ \ x=2

La seconda è invece un'equazione binomia di grado dispari la cui soluzione si ottiene isolando x^3, dopodiché estrarremo la radice cubica membro a membro

2x^3-4=0 \ \ \ \to \ \ \ x^3=2

da cui

x=\sqrt[3]{2}

Poiché entrambi i valori soddisfano le condizioni di esistenza, essi sono entrambi soluzioni dell'equazione data, pertanto concludiamo che l'insieme delle soluzioni è dato da

S=\left\{\sqrt[3]{2},\ 2\right\}

L'equazione è risolta.
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Os