Equazione fratta di grado superiore al secondo

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#79462
avt
Vostok
Punto

Ho riscontrato molte problematicità nel risolvere un'equazione fratta che a quanto pare si riconduce a un'equazione scomponibile di grado superiore al secondo. Suppongo che gli errori che commetto risiedano nei passaggi algebrici: sicuramente commetto qualche errore di calcolo.

Calcolare le soluzioni reali dell'equazione fratta

1−2x+(1)/(2(x−1)) = (9)/(2(1+x))−x^2

dopo aver imposto le opportune condizioni di esistenza.

Ringraziano: Omega, Galois
#79463
avt
Galois
Amministratore

Prima di calcolare le eventuali soluzioni reali dell'equazione fratta

1−2x+(1)/(2(x−1)) = (9)/(2(1+x))−x^2

bisogna impostare le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. Dobbiamo quindi richiedere che sussistano le disuguaglianze:

2(x−1) ne 0 → x−1 ne 0 x ne 1 ; 2(x+1) ne 0 → x+1 ne 0 → x ne−1

da cui deduciamo che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalle condizioni

C.E.: x ne−1 ∧ x ne 1

dove ∧ indica il connettivo logico "e".

Una volta individuato il C.E., siamo autorizzati a effettuare quei passaggi mediante i quali ci riconduciamo alla forma normale dell'equazione.

In primis, trasportiamo tutti i termini al primo membro, cambiando i segni di quei termini che attraversano il simbolo di uguaglianza

1−2x+(1)/(2(x−1))−(9)/(2(1+x))+x^2 = 0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

(2(1−2x)(x+1)(x−1)+x+1−9(x−1)+2x^2(x+1)(x−1))/(2(x+1)(x−1)) = 0

Per questioni di comodità, sviluppiamo preliminarmente i prodotti (x+1)(x−1) utilizzando la regola sulla differenza di quadrati.

(2(1−2x)(x^2−1)+x+1−9x+9+2x^2(x^2−1))/(2(x+1)(x−1)) = 0

Portiamo a termine i prodotti

(−2+4x+2x^2−4x^3+x+1−9x+9+2x^4−2x^2)/(2(x+1)(x−1)) = 0

e sommiamo tra loro i monomi simili

(2x^4−4x^3−4x+8)/(2(x+1)(x−1)) = 0

Interviene a questo punto il secondo principio di equivalenza delle equazioni che sotto i vincoli delle condizioni di esistenza consente di cancellare il denominatore e di considerare l'equazione equivalente

2x^4−4x^3−4x+8 = 0

Più precisamente, è un'equazione scomponibile infatti possiamo ridurre il polinomio al primo membro come prodotto di polinomi di grado inferiore. Per convincersene, è sufficiente avvalersi del raccoglimento parziale: raccogliamo 2x^3 tra i primi due termini e -4 tra gli ultimi due

2x^3(x−2)−4(x−2) = 0

dopodiché raccogliamo il fattore comune x−2

(x−2)(2x^3−4) = 0

A questo punto non ci resta che utilizzare la legge di annullamento del prodotto, con cui ricaviamo le seguenti relazioni

x−2 = 0 , 2x^3−4 = 0

La prima è una semplice equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

x−2 = 0 → x = 2

La seconda è invece un'equazione binomia di grado dispari la cui soluzione si ottiene isolando x^3, dopodiché estrarremo la radice cubica membro a membro

2x^3−4 = 0 → x^3 = 2

da cui

x = [3]√(2)

Poiché entrambi i valori soddisfano le condizioni di esistenza, essi sono entrambi soluzioni dell'equazione data, pertanto concludiamo che l'insieme delle soluzioni è dato da

S = [3]√(2), 2

L'equazione è risolta.

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