Espressione a termini irrazionali #7945

avt
Lucabig
Frattale
Ciao mondo di Youmath,

non ho paura a dirvi che da quando son con voi la matematica la vivo con maggior passione e in particolare, riesco a capire MOLTO meglio (rispetto alla spiegazione del professore) lo svolgimento degli esercizi. La settimana prossima c'è il compito, spero di prendere un buon voto dopo un quadrimestre non molto produttivo.

Passiamo al dubbio riguardo questa espressione:

(\sqrt\frac{y}{x} + \sqrt\frac{x}{y} - 2 ) : ( \sqrt{x} - \sqrt{y})^2

Mi blocco già alla prima parentesi , come faccio ad addizionare o sottrarre i vari termini?
 
 

Espressione a termini irrazionali #7962

avt
Omega
Amministratore
LucaBig ha scritto:
non ho paura a dirvi che da quando son con voi la matematica la vivo con maggior passione e in particolare, riesco a capire MOLTO meglio (rispetto alla spiegazione del professore) lo svolgimento degli eserciz

Grazie!! emt

Tra parentesi: non hai idea del favore che ti sei fatto prendendo confidenza con la scrittura LaTeX...emt

Veniamo all'espressione

\left(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}-2\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2

I termini che compaiono nella prima parentesi conviene razionalizzarli: si moltiplica e si divide il primo addendo per \sqrt{x}, mentre si moltiplica e si divide il secondo per \sqrt{y} trovando così

\left(\sqrt{\frac{y}{x}}\sqrt{\frac{x}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}\sqrt{\frac{y}{y}}-2\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2

cioè

\left(\frac{\sqrt{xy}}{x}+\frac{\sqrt{xy}}{y}-2\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2

Potremmo, e intendo "dobbiamo" emt emt , calcolare il denominatore comune nella prima parentesi

\left(\frac{\sqrt{xy}y+\sqrt{xy}x-2xy}{xy}\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2

Ora sviluppiamo il quadrato della seconda parentesi:

\left(\frac{\sqrt{xy}y+\sqrt{xy}x-2xy}{xy}\right):\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)

e scriviamo la divisione come frazione

\frac{\frac{\sqrt{xy}y+\sqrt{xy}x-2xy}{xy}}{x-2\sqrt{xy}+y}

\frac{\sqrt{xy}y+\sqrt{xy}x-2xy}{(xy)(x-2\sqrt{xy}+y)}

Raccogliamo \sqrt{xy} a numeratore

\frac{\sqrt{xy}\left(y+x-2\sqrt{xy}\right)}{(xy)(x-2\sqrt{xy}+y)}

Resta di stucco: è un barbatrucco!

\frac{\sqrt{xy}}{(xy)}

e abbiamo finito! emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Lucabig

Espressione a termini irrazionali #7966

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao lucabig

Cominciamo!!:

\frac{\left(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}-2\right)}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}

Cominciamo con il dominio. Si deve avere necessariamente che:
x>0, y>0 per la condizione di realtà delle radici \sqrt{x}, \sqrt{y}

Inoltre \sqrt{x}-\sqrt{y}\ne 0\implies \sqrt{x}\ne \sqrt{y}

Quindi:

x\ne y

Ricapitolando:

\mbox{D}=\{(x, y): x\ne y, x>0, y>0\}

Benissimo adesso lavoriamo al numeratore:

\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}}-2=

Ricorda che la radice di un quoziente è uguale al quoziente delle radici.

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}-2=

Minimo comun denominatore:

\frac{y+x-2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}

Osserva ora che:

y+x-2\sqrt{x}\sqrt{y}= (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2

è uno pseudoquadrato di binomio.

quindi

\frac{y+x-2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}\sqrt{y}}


Benissimo!! Sostituiamo nella frazione originaria:

\frac{\left(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}-2\right)}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}=

\frac{\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}\sqrt{y}}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}=

\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}}=

Semplificando otterrai:

\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{y}}

Finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Espressione a termini irrazionali #7967

avt
Ifrit
Amministratore
Bellissimi trucchi omega emt emt
Ringraziano: Omega

Espressione a termini irrazionali #7968

avt
Omega
Amministratore
Two gust is mei che uan. emt
Ringraziano: frank094, Ifrit

Espressione a termini irrazionali #7970

avt
Lucabig
Frattale
Intanto grazie mille sia ad Omega che a Ifrit. emt

E' la terza volta che cerco di inviare questo messaggio dal cellulare ma mi arriva (proprio mentre sto per cliccare su "Invia") il suono che é arrivata una mail. Allora vado all'app del cellulare, controllo e vedo che é arrivato un messaggio, quindi ritorno al web e aggiorno la pagina per leggere il messaggio. Questa operazione l'ho ripetuta tre volte emt Forse non avrete capito niente o si?

P.S. Ifrit, l'equazione non credo sia (anzi non é) quella....vabé non fa niente (non preoccuparti), c'é già la procedura di Omega che mi ha fatto capire come si sviluppa. emt
Ringraziano: Ifrit

Espressione a termini irrazionali #7979

avt
Ifrit
Amministratore
lol, in realtà sono la stessa cosa, solo che io ho utilizzato la notazione frazionaria (esiste sta nomenclatura?? Boh, se non esiste la invento io sul momento emt emt ) per indicare il quoziente. Sono due modi di scrittura diversi per indicare la stessa operazione emt
Ringraziano: Omega

Re: Espressione a termini irrazionali #8033

avt
Lucabig
Frattale
Ahahahahah...mai sentita, io non ci avrei capito cmq niente emt . Comunque oggi sono andato all'interrogazione di mate ed ho preso 7 e MEZZOOOOOOOOOOOOO . Tutto merito vostro. Grazie Mille emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Espressione a termini irrazionali #8036

avt
Omega
Amministratore
Semplicemente...grandioso! emt emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Lucabig
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Os