Equazione fratta di grado superiore al secondo con i radicali

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Equazione fratta di grado superiore al secondo con i radicali #79035

avt
CricetoSaggio
Punto
Mi è capitato un'esercizio davvero molto difficile sulle equazioni fratte che si riconducono a equazioni scomponibili di grado superiore al secondo. Purtroppo l'equazione è a coefficienti irrazionali con i quali non ho esattamente un buon rapporto, per questo ho bisogno del vostro aiuto.

Data l'equazione fratta a coefficienti irrazionali

(x^2-√(3))/(x^2-1)+(x^2+√(3))/(x^2+1)+(2√(3)-5x^6+2x^8)/(x^4-1) = 0

calcolare le sue soluzioni reali avvalendosi delle opportune tecniche di scomposizione.

Grazie.
 
 

Equazione fratta di grado superiore al secondo con i radicali #79683

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di iniziare i calcoli per calcolare le soluzioni dell'equazione fratta

(x^2-√(3))/(x^2-1)+(x^2+√(3))/(x^2+1)+(2√(3)-5x^6+2x^8)/(x^4-1) = 0

bisogna innanzitutto determinare le condizioni di esistenza: bisogna richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli, questo perché è impossibile dividere per zero. Per agevolarci nei calcoli scomponiamo i denominatori:

Il primo denominatore, x^2-1, è una differenza di quadrati, pertanto si scompone come segue

x^2-1 = (x+1)(x-1)

Il secondo denominatore è invece una somma tra un quadrato e un numero positivo ed è dunque irriducibile.

Il terzo denominatore può essere interpretato come la differenza dei quadrati di x^2 e 1 e in base alla regola di scomposizione omonima scriviamo:

x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)

In base alle informazioni ottenute, l'equazione può essere espressa come

(x^2-√(3))/((x-1)(x+1))+(x^2+√(3))/(x^2+1)+(2√(3)-5x^6+2x^8)/((x-1)(x+1)(x^2+1)) = 0

Imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che tutti i fattori che compaiono a denominatore siano diversi da zero

x-1 ne 0 → x ne 1 ; x+1 ne 0 → x ne-1

Per quanto concerne la disuguaglianza

x^2+1 ne 0

essa è certamente soddisfatta per qualsiasi numero reale, perché la somma tra un quadrato e un numero positivo è certamente positiva.

Analizzate le disuguaglianze, possiamo affermare che l'equazione è ben posta a patto che vengano soddisfatte le seguenti condizioni:

C.E. : x ne-1 ∧ x ne 1

dove ∧ individua il connettivo logico "e".

Sotto tali condizioni, possiamo continuare con la risoluzione dell'equazione esprimendola in forma normale. Calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore e svolgiamo i calcoli che ne derivano

((x^2-√(3))(x^2+1)+(x^2+√(3))(x+1)(x-1)+2√(3)-5x^6+2x^8)/((x-1)(x+1)(x^2+1)) = 0 ; ((x^2-√(3))(x^2+1)+(x^2+√(3))(x^2-1)+2√(3)-5x^6+2x^8)/((x-1)(x+1)(x^2+1)) = 0

Cancelliamo il denominatore che ormai ha svolto il suo compito, sviluppiamo i prodotti e sommiamo tra loro i termini simili

x^4-√(3)x^2+x^2-√(3)+x^4+√(3)x^2-x^2-√(3)+2√(3)-5x^6+2x^8 = 0 ; 2x^4-5x^6+2x^8 = 0

Per risolvere l'equazione di ottavo grado, raccogliamo il fattore comune x^4

x^4(2x^4-5x^2+2) = 0

dopodiché sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale possiamo considerare le seguenti equazioni:

x^4 = 0 , 2x^4-5x^2+2 = 0

La prima conduce alla soluzione nulla (contata quattro volte)

x^4 = 0 → x = 0

La seconda è un'equazione biquadratica, risolvibile con la sostituzione t = x^2, mediante la quale

2x^4-5x^2+2 = 0

diventa un'equazione di secondo grado nell'incognita t

2t^2-5t+2 = 0

i cui coefficienti sono

a = 2 , b = -5 , c = 2

Calcoliamo il discriminante con la formula

Δ = b^2-4ac = (-5)^2-4·2·2 = 9

la cui positività garantisce che l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte che calcoliamo con la relazione

t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-5)±√(9))/(2·2) = (5-3)/(4) = (1)/(2) = t_1 ; (5+3)/(4) = 2 = t_2

In buona sostanza, l'equazione in t è soddisfatta dai valori

t = (1)/(2) e t = 2

Non ci rimane che tornare nell'incognita x tenendo a mente la sostituzione fatta. Poiché t = x^2, la relazione

t = (1)/(2)

si traduce nell'equazione pura

x^2 = (1)/(2) → x = ±√((1)/(2))

Allo stesso modo,

t = 2

diventa

x^2 = 2 → x = ±√(2)

Ricapitolando, abbiamo ottenuto i valori

x = 0 , x = -√((1)/(2)), x = √((1)/(2)), x = -√(2), x = √(2)

e tutti rispettano le condizioni di esistenza pertanto sono soluzioni accettabili dell'equazione di partenza. L'insieme soluzione è pertanto

S = -√(2), -√((1)/(2)), 0, √((1)/(2)), √(2)

Prima di mettere un punto all'esercizio, è opportuno evidenziare che le proprietà dei radicali consentono di esprimere la radice di un quoziente come il quoziente di radici: proprio tale proprietà garantisce l'uguaglianza

√((1)/(2)) = (1)/(√(2))

Abbiamo finito.
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