Equazione fratta di grado superiore al secondo con i radicali

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Equazione fratta di grado superiore al secondo con i radicali #79035

avt
CricetoSaggio
Punto
Mi è capitato un'esercizio davvero molto difficile sulle equazioni fratte che si riconducono a equazioni scomponibili di grado superiore al secondo. Purtroppo l'equazione è a coefficienti irrazionali con i quali non ho esattamente un buon rapporto, per questo ho bisogno del vostro aiuto.

Data l'equazione fratta a coefficienti irrazionali

\frac{x^2-\sqrt{3}}{x^2-1}+\frac{x^2+\sqrt{3}}{x^2+1}+\frac{2\sqrt{3}-5x^6+2x^8}{x^4-1}=0

calcolare le sue soluzioni reali avvalendosi delle opportune tecniche di scomposizione.

Grazie.
 
 

Equazione fratta di grado superiore al secondo con i radicali #79683

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di iniziare i calcoli per calcolare le soluzioni dell'equazione fratta

\frac{x^2-\sqrt{3}}{x^2-1}+\frac{x^2+\sqrt{3}}{x^2+1}+\frac{2\sqrt{3}-5x^6+2x^8}{x^4-1}=0

bisogna innanzitutto determinare le condizioni di esistenza: bisogna richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli, questo perché è impossibile dividere per zero. Per agevolarci nei calcoli scomponiamo i denominatori:

Il primo denominatore, x^2-1, è una differenza di quadrati, pertanto si scompone come segue

x^2-1=(x+1)(x-1)

Il secondo denominatore è invece una somma tra un quadrato e un numero positivo ed è dunque irriducibile.

Il terzo denominatore può essere interpretato come la differenza dei quadrati di x^2 \ \mbox{e} \ 1 e in base alla regola di scomposizione omonima scriviamo:

x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)

In base alle informazioni ottenute, l'equazione può essere espressa come

\frac{x^2-\sqrt{3}}{(x-1)(x+1)}+\frac{x^2+\sqrt{3}}{x^2+1}+\frac{2\sqrt{3}-5x^6+2x^8}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=0

Imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che tutti i fattori che compaiono a denominatore siano diversi da zero

\\ x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1 \\ \\ x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

Per quanto concerne la disuguaglianza

x^2+1\ne 0

essa è certamente soddisfatta per qualsiasi numero reale, perché la somma tra un quadrato e un numero positivo è certamente positiva.

Analizzate le disuguaglianze, possiamo affermare che l'equazione è ben posta a patto che vengano soddisfatte le seguenti condizioni:

C.E. : \ x\ne -1 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 1

dove \wedge individua il connettivo logico "e".

Sotto tali condizioni, possiamo continuare con la risoluzione dell'equazione esprimendola in forma normale. Calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore e svolgiamo i calcoli che ne derivano

\\ \frac{(x^2-\sqrt{3})(x^2+1)+(x^2+\sqrt{3})(x+1)(x-1)+2\sqrt{3}-5x^6+2x^8}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=0 \\ \\ \\ \frac{(x^2-\sqrt{3})(x^2+1)+(x^2+\sqrt{3})(x^2-1)+2\sqrt{3}-5x^6+2x^8}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=0

Cancelliamo il denominatore che ormai ha svolto il suo compito, sviluppiamo i prodotti e sommiamo tra loro i termini simili

\\ x^4-\sqrt{3}x^2+x^2-\sqrt{3}+x^4+\sqrt{3}x^2-x^2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-5x^6+2x^8=0 \\ \\ 2x^4-5x^6+2x^8=0

Per risolvere l'equazione di ottavo grado, raccogliamo il fattore comune x^4

x^4(2x^4-5x^2+2)=0

dopodiché sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale possiamo considerare le seguenti equazioni:

x^4=0 \ \ \ \, \  \ \ 2x^4-5x^2+2=0

La prima conduce alla soluzione nulla (contata quattro volte)

x^4=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0

La seconda è un'equazione biquadratica, risolvibile con la sostituzione t=x^2, mediante la quale

2x^4-5x^2+2=0

diventa un'equazione di secondo grado nell'incognita t

2t^2-5t+2=0

i cui coefficienti sono

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=-5 \ \ \ , \ \ \ c=2

Calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 2 \cdot 2=9

la cui positività garantisce che l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte che calcoliamo con la relazione

t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\begin{cases}\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}=t_1 \\ \\ \frac{5+3}{4}=2=t_2\end{cases}

In buona sostanza, l'equazione in t è soddisfatta dai valori

t=\frac{1}{2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ t=2

Non ci rimane che tornare nell'incognita x tenendo a mente la sostituzione fatta. Poiché t=x^2, la relazione

t=\frac{1}{2}

si traduce nell'equazione pura

x^2=\frac{1}{2} \ \ \ \to \ \ \ x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}

Allo stesso modo,

t=2

diventa

x^2=2 \ \ \ \to \ \ \ x=\pm\sqrt{2}

Ricapitolando, abbiamo ottenuto i valori

x=0 , \ x=-\sqrt{\frac{1}{2}}, \ x=\sqrt{\frac{1}{2}}, \ x=-\sqrt{2},\ x=\sqrt{2}

e tutti rispettano le condizioni di esistenza pertanto sono soluzioni accettabili dell'equazione di partenza. L'insieme soluzione è pertanto

S=\left\{-\sqrt{2},\ -\sqrt{\frac{1}{2}}, 0, \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{2}\right\}

Prima di mettere un punto all'esercizio, è opportuno evidenziare che le proprietà dei radicali consentono di esprimere la radice di un quoziente come il quoziente di radici: proprio tale proprietà garantisce l'uguaglianza

\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

Abbiamo finito.
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