Scomposizione di un polinomio con frazioni e cubo di binomio

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Scomposizione di un polinomio con frazioni e cubo di binomio #78850

avt
caygri
Punto
Mi è stato proposto un esercizio in cui mi viene chiesto di scomporre un polinomio a coefficienti fratti con la regola del cubo di un binomio. Ho risolto senza troppe difficoltà gli altri esercizi, ma non so come comportarmi se nel polinomio compaiono coefficienti fratti.

Trasformare il seguente polinomio nel cubo di un binomio:

\frac{1}{8}-\frac{3x^2}{4}+\frac{3x^4}{2}-x^6

Grazie mille.
 
 

Scomposizione di un polinomio con frazioni e cubo di binomio #87659

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di esprimere il polinomio

\frac{1}{8}-\frac{3x^2}{4}+\frac{3x^4}{2}-x^6

nel cubo di un binomio da determinare. Per poterlo fare, bisogna affidarsi al prodotto notevole

A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=(A+B)^3

In altri termini, un quadrinomio è il cubo di un binomio se e solo se è composto:

- da due cubi perfetti, da cui ne estrapoliamo le basi;

- il triplo prodotto della base del primo al quadrato per la seconda e il triplo prodotto della base della seconda al quadrato per la prima.

Analizziamo i termini del polinomio dato

\frac{1}{8}-\frac{3x^2}{4}+\frac{3x^4}{2}-x^6

I due cubi perfetti sono:

- il monomio \frac{1}{8}, il quale è il cubo di \frac{1}{2}, infatti per le proprietà delle potenze ricaviamo

\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3

- il monomio -x^6, il quale è il cubo di -x^2, infatti per la regola sulla potenza di una potenza si ha:

-x^6=-(x^2)^3=(-x^2)^3

Deduciamo pertanto che le basi che compongono il binomio sono

\frac{1}{2}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ -x^2

Attenzione! Non abbiamo ancora terminato: dobbiamo verificare che i termini restati del quadrinomio siano effettivamente i tripli prodotti. Calcoliamo il triplo prodotto tra la base del primo cubo elevato al quadrato e la base del secondo

3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot(-x^2)=-\frac{3x^2}{4}

e il triplo prodotto tra la base del primo cubo per il quadrato della base della seconda

3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\cdot (-x^2)^2=\frac{3x^4}{2}

Alla luce delle precedenti considerazioni, possiamo concludere che il polinomio dato è il cubo di \frac{1}{2}-x^2

\frac{1}{8}-\frac{3x^2}{4}+\frac{3x^4}{2}-x^6=\left(\frac{1}{2}-x^2\right)^3

Abbiamo finito!
Ringraziano: mat pigreco 96
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Os