Esercizio equazione di grado 14 #78836

avt
marco_ore
Punto
Non ho proprio idea di come si possa risolvere il seguente esercizio sulle equazioni di grado superiore al secondo. Secondo la traccia, posso ricondurmi a un'equazione scomponibile avvalendomi di un'opportuna sostituzione, ma non so quale possa essere.

Calcolare le soluzioni reali della seguente equazione sfruttando un'opportuna sostituzione che possa ricondurla a un'equazione scomponibile.

-3((3x)/(2))^7-6(((3x)/(2))^(14)-1)+((3x)/(2))^(14)(1+((3x)/(2))^7+((3x)/(2))^(14)) = 0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione di grado 14 #78839

avt
Omega
Amministratore
Esistono diverse strategie che consento di risolvere l'equazione

-3((3x)/(2))^7-6(((3x)/(2))^(14)-1)+((3x)/(2))^(14)(1+((3x)/(2))^7+((3x)/(2))^(14)) = 0

alcune delle quali richiedono un numero elevato di passaggi che è meglio evitare: potremmo pensare di svolgere impunemente le operazioni sfruttando a nostro vantaggio le proprietà delle potenze ma ci costerebbe una fatica sia in termini di tempo sia in termini di calcolo.

La stessa equazione, o meglio la forma in cui si presenta, suggerisce la strada della sostituzione: non è un caso che sia evidenziato il termine ((3x)/(2))^7, ecco perché imponiamo

t = ((3x)/(2))^(7)

da cui elevando al quadrato i due membri

t^2 = [((3x)/(2))^(7)]^2 = ((3x)/(2))^(14)

dove nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la proprietà relativa alla potenza di una potenza.

È proprio grazie alla sostituzione che riusciamo a ricondurci alla seguente equazione scomponibile nell'incognita t.

-3t-6(t^2-1)+t^2(1+t+t^2) = 0

Sviluppiamo i prodotti così da eliminare le parentesi tonde

-3t-6t^2+6+t^2+t^3+t^4 = 0

e una volta sommati i termini simili ricaviamo

t^4+t^3-5t^2-3t+6 = 0

Ci siamo ricondotti quindi a un'equazione di quarto grado che può essere scomposta mediante la regola di Ruffini.

Per innescare il processo è però necessario conoscere una soluzione della stessa: possiamo cercarla tra i divisori interi del termine noto

Divisori di 6 = ±1, ±2, ±3, ±6

Procedendo per tentativi, ricerchiamo un'elemento dell'insieme che soddisfa l'equazione:

Se t = -1 oppure se t = 1 l'equazione non è soddisfatta, proviamo quindi con t = -2

(-2)^4+(-2)^3-5·(-2)^2-3·(-2)+6 = 0 → 0 = 0

Poiché abbiamo ottenuto l'identità 0 = 0, significa che t = -2 è una soluzione dell'equazione in t e in base al teorema del resto il primo membro dell'equazione si può esprimere come il prodotto tra il binomio t+2 e il polinomio di terzo grado Q(t) i cui coefficienti si ottengono con la tabella di Ruffini

beginarrayc|ccccccc|c 1 1 -5 -3 6 ; ; ;-2 -2 2 6 -6 ; hline 1 -1 -3 3 0 endarray

Deduciamo quindi che il polinomio Q(t) è

Q(t) = t^3-t^2-3t+3

e dunque che l'equazione in t si scompone come

(t+2)(t^3-t^2-3t+3) = 0

Possiamo continuare oltre con la scomposizione: è sufficiente notare che raccogliendo parzialmente t^2 tra i primi due termini delle parentesi tonde e -3 dagli ultimi due, l'equazione diventa

(t+2)(t^2(t-1)-3(t-1)) = 0

da cui, mettendo in evidenza il fattore comune t-1

(t+2)(t^2-3)(t-1) = 0

A questo punto possiamo avvalerci della legge di annullamento del prodotto, con cui otteniamo le tre relazioni

t+2 = 0 ; t^2-3 = 0 ; t-1 = 0

La prima e la terza sono equazioni di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

t+2 = 0 → t = -2 ; t-1 = 0 → t = 1

La seconda è invece un'equazione pura le cui soluzioni sono date da

t^2-3 = 0 → t = -√(3) , t = √(3)

A questo punto non ci resta che ripristinare l'incognita x, tenendo a mente la sostituzione fatta.

Poiché t = ((3x)/(2))^7 la relazione t = -2 si traduce in

((3x)/(2))^7 = -2

vale a dire in un'equazione binomia di grado dispari che conduce alla soluzione

(3x)/(2) = [7]√(-2) → 3x = -2[7]√(2) → x = -(2[7]√(2))/(3)

La relazione t = 1 diventa

((3x)/(2))^7 = 1 → (3x)/(2) = 1 → x = (2)/(3)

Per quanto concerne t = -√(3) otteniamo

((3x)/(2))^7 = -√(3)

da cui estraendo la radice settima membro a membro

(3x)/(2) = -[7]√(√(3))

In virtù della proprietà relativa alla radice di una radice il secondo membro diventa

(3x)/(2) = - sqrt[14]3

ciò è dovuto al fatto che la radice di radice può essere espressa sotto forma di un unico radicale avente per indice il prodotto degli indici.

Dall'ultimo passaggio è praticamente immediato raggiungere la soluzione

x = -(2 sqrt[14]3)/(3)

Ripercorrendo praticamente i medesimi passaggi, siamo in grado di analizzare la relazione t = √(3) che si traduce nell'equazione

((3x)/(2))^(7) = √(3)

da cui ricaviamo

x = (2 sqrt[14]3)/(3)

Possiamo quindi concludere che l'equazione iniziale è soddisfatta dai seguenti valori

x_1 = (2)/(3), x_2 = -(2 sqrt[14]3)/(3), x_3 = (2 sqrt[14]3)/(3), x_4 = -(2[7]√(2))/(3)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: marco_ore

Esercizio equazione di grado 14 #78841

avt
marco_ore
Punto
Ti ringrazio emt
Ringraziano: Omega
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Os