Equazione esponenziale con basi diverse

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione esponenziale con basi diverse #78678

avt
Hirundo
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione esponenziale che a detta del mio prof si risolve con i logaritmi. Ho tentato di utilizzare la strategia suggerita, però il risultato non torna.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

5^{x}\cdot 2^{2x}=10

Grazie.
 
 

Equazione esponenziale con basi diverse #78690

avt
Omega
Amministratore
Per poter ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

5^{x}\cdot 2^{2x}=10

sfruttiamo prima di tutto le proprietà delle potenze per fare in modo che 5^{x}\ \mbox{e} \ 2^{2x} abbiano il medesimo esponente.

In forza della proprietà relativa alla potenza di una potenza letta alla rovescia, possiamo esprimere 2^{2x} nella forma 4^x, infatti

2^{2x}=(2^2)^x=4^x

Una volta rimpiazzata nell'equazione, essa diventa

5^x\cdot 4^x=10

Al primo membro si è manifestato il prodotto di due potenze con lo stesso esponente, e grazie alla proprietà omonima, ricaviamo:

\\ (5\cdot 4)^{x}=10\\ \\ 20^x=10

Da qui, la strada per la soluzione è veramente breve! Basta infatti applicare a destra e a sinistra il logaritmo in base 20 e scrivere

\log_{20}(20^x)=\log_{20}(10)

da cui segue che:

x=\log_{20}(10)

Possiamo concludere che l'equazione

5^{x}\cdot 2^{2x}=10

è soddisfatta unicamente da x=\log_{20}(10).

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Galois, Iusbe, Hirundo
  • Pagina:
  • 1
Os