Equazione di grado superiore al secondo scomponibile per sostituzione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione di grado superiore al secondo scomponibile per sostituzione #78493

avt
Sildipix
Cerchio
Dovrei risolvere un'equazione con i radicali e di grado superiore al secondo. Il mio insegnante ha suggerito di usare una sostituzione per ricondurmi a un'equazione scomponibile, però non ne sono in grado per questo chiedo il vostro aiuto.

Determinare l'insieme delle soluzioni reali della seguente equazione

(\sqrt{2}x-\sqrt{3})^3-(\sqrt{2}x-\sqrt{3})^2-2(\sqrt{2}x-\sqrt{3})+2=0

Grazie.
 
 

Equazione di grado superiore al secondo scomponibile per sostituzione #78499

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede in buona sostanza di determinare le soluzioni dell'equazione

(\sqrt{2}x-\sqrt{3})^3-(\sqrt{2}x-\sqrt{3})^2-2(\sqrt{2}x-\sqrt{3})+2=0

Puntualizziamo sin da subito che sviluppare il cubo di binomio (\sqrt{2}x-\sqrt{3})^3 e il quadrato di binomio (\sqrt{2}x-\sqrt{3})^2 rappresenta una strada percorribile, ma piena di insidie per via dei numerosi calcoli che ne conseguirebbero.

La strategia ottimale consiste nel ricorrere alla sostituzione

t=\sqrt{2}x-\sqrt{3}

suggerita dalla ripetitività con cui il binomio si presenta: è grazie a essa che riusciamo a ricondurci alla seguente equazione scomponibile

t^3-t^2-2t+2=0

che possiamo risolvere mediante raccoglimento parziale.

Raccogliamo t^2 tra i primi due termini e -2 dagli ultimi due

t^2(t-1)-2(t-1)=0

dopodiché raccogliamo totalmente il fattore comune t-1

(t-1)(t^2-2)=0

Facciamo intervenire la legge di annullamento del prodotto, la quale assicura che il prodotto al primo membro è uguale a zero se e solo se sussiste almeno una delle seguenti relazioni

\\ t-1=0 \\ \\ t^2-2=0

Analizziamole separatamente partendo dalla prima, la quale non è altro che un'equazione di primo grado risolvibile isolando l'incognita al primo membro

t-1=0\ \ \ \to \ \ \ t=1

La seconda è invece un'equazione pura che risolviamo con i seguenti passaggi algebrici

t^2-2=0 \ \ \ \to \ \ \  t^2=2

da cui

t=-\sqrt{2} \ \ \ , \ \ \ t=\sqrt{2}

Non ci resta che ritornare nell'incognita x ricordando la sostituzione che abbiamo effettuato. Poiché t=\sqrt{2}x-\sqrt{3}, la relazione t=1 si traduce nell'equazione di primo grado a coefficienti irrazionali

t=1\ \ \ \to \ \ \ \sqrt{2}x-\sqrt{3}=1

da cui isolando l'incognita al primo membro ricaviamo

\sqrt{2}x=1+\sqrt{3} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

Essa è a tutti gli effetti una soluzione dell'equazione iniziale, inoltre è possibile razionalizzarla moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}

\\ x=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2}= \\ \\ \\ =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}

La relazione

t=-\sqrt{2}

si traduce nell'equazione

\sqrt{2}x-\sqrt{3}=-\sqrt{2}

la cui soluzione è data dai seguenti passaggi algebrici

\sqrt{2}x=\sqrt{3}-\sqrt{2} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

Ancora una volta possiamo razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}

x=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}

Svolgendo le operazioni con i radicali otteniamo la seconda soluzione

x=\frac{\sqrt{6}-2}{2}

L'ultima relazione, vale a dire

t=\sqrt{2}

si tramuta nell'equazione di primo grado in x

\sqrt{2}x-\sqrt{3}=\sqrt{2}

dalla quale ricaviamo

x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}

dove nell'ultimo passaggio abbiamo razionalizzato il denominatore.

In definitiva possiamo affermare che le soluzioni dell'equazione

(\sqrt{2}x-\sqrt{3})^3-(\sqrt{2}x-\sqrt{3})^2-2(\sqrt{2}x-\sqrt{3})+2=0

sono

x_1=\frac{\sqrt{6}-2}{2} \  \  , \ \ x_2=\frac{2+\sqrt{6}}{2} \ \ , \ \ x_3=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}

e dunque l'insieme soluzione è

S=\left\{\frac{\sqrt{6}-2}{2}, \ \frac{2+\sqrt{6}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right\}

Ecco fatto!
Ringraziano: Sildipix
  • Pagina:
  • 1
Os