Equazione di quinto grado con i radicali

Mi è capitato un esercizio sulle equazioni di grado superiore al secondo da risolvere con le scomposizioni. L'equazione però è a coefficienti irrazionali che non sono in grado di trattare in modo adeguato, per questo motivo chiedo il vostro intervento.

Determinare le soluzioni reali associate alla seguente equazione a coefficienti irrazionali, usando le dovute tecniche di scomposizione.



Grazie.

Calcolare le soluzioni dell'equazione



richiede giusto un po' di esperienza e di occhio clinico. Possiamo infatti risolverla scomponendo a dovere i due membri. Al primo membro possiamo raccogliere totalmente il fattore comune , mentre al secondo possiamo mettere in evidenza il radicale



Osserviamo che sia al primo che al secondo membro compare il trinomio



e ciò ci deve suggerire la strategia da seguire: trasportiamo tutto al primo membro dopodiché mettiamo in evidenza i fattori comuni



Interviene ora la legge di annullamento del prodotto con la quale possiamo analizzare le segunti relazioni



La prima non è altro che un'equazione di primo grado risolvibile isolando l'incognita al primo membro



Per quanto concerne l'altra relazione, essa è un'equazione biquadratica che risolviamo avvalendoci della sostituzione con la quale passiamo da



all'equazione di secondo grado nell'incognita



Indicati con rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto, calcoliamo il discriminante associato mediante la formula



Poiché il delta è negativo, l'equazione di secondo grado in non ammette soluzioni reali, conseguentemente nemmeno l'equazione biquadratica ammette soluzioni.

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione iniziale è soddisfatta unicamente dal valore



dunque l'insieme soluzione è .

Problema risolto!