Equazione di quinto grado con i radicali

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Equazione di quinto grado con i radicali #78357

avt
federico123
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni di grado superiore al secondo da risolvere con le scomposizioni. L'equazione però è a coefficienti irrazionali che non sono in grado di trattare in modo adeguato, per questo motivo chiedo il vostro intervento.

Determinare le soluzioni reali associate alla seguente equazione a coefficienti irrazionali, usando le dovute tecniche di scomposizione.

2x^5+4x^3+6x=\sqrt{2}x^4+2\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2}

Grazie.
 
 

Equazione di quinto grado con i radicali #78360

avt
Omega
Amministratore
Calcolare le soluzioni dell'equazione

2x^5+4x^3+6x=\sqrt{2}x^4+2\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2}

richiede giusto un po' di esperienza e di occhio clinico. Possiamo infatti risolverla scomponendo a dovere i due membri. Al primo membro possiamo raccogliere totalmente il fattore comune 2x, mentre al secondo possiamo mettere in evidenza il radicale \sqrt{2}

2x(x^4+2x^2+3)=\sqrt{2}(x^4+2x^2+3)

Osserviamo che sia al primo che al secondo membro compare il trinomio

x^4+2x^2+3

e ciò ci deve suggerire la strategia da seguire: trasportiamo tutto al primo membro dopodiché mettiamo in evidenza i fattori comuni

\\ 2x(x^4+2x^2+3)-\sqrt{2}(x^4+2x^2+3)=0 \\ \\ (2x-\sqrt{2})(x^4+2x^2+3)=0

Interviene ora la legge di annullamento del prodotto con la quale possiamo analizzare le segunti relazioni

\\ 2x-\sqrt{2}=0 \\ \\ x^4+2x^2+3=0

La prima non è altro che un'equazione di primo grado risolvibile isolando l'incognita al primo membro

2x-\sqrt{2}=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\sqrt{2}}{2}

Per quanto concerne l'altra relazione, essa è un'equazione biquadratica che risolviamo avvalendoci della sostituzione t=x^2 con la quale passiamo da

x^4+2x^2+3=0

all'equazione di secondo grado nell'incognita t

t^2+2t+3=0

Indicati con a,\ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di t^2, quello di t e il termine noto, calcoliamo il discriminante associato mediante la formula

\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1 \cdot 3=-8<0

Poiché il delta è negativo, l'equazione di secondo grado in t non ammette soluzioni reali, conseguentemente nemmeno l'equazione biquadratica ammette soluzioni.

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione iniziale è soddisfatta unicamente dal valore

x=\frac{\sqrt{2}}{2}

dunque l'insieme soluzione è S=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}.

Problema risolto!
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby
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Os