Equazione di quinto grado con i radicali

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#78357
avt
federico123
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni di grado superiore al secondo da risolvere con le scomposizioni. L'equazione però è a coefficienti irrazionali che non sono in grado di trattare in modo adeguato, per questo motivo chiedo il vostro intervento.

Determinare le soluzioni reali associate alla seguente equazione a coefficienti irrazionali, usando le dovute tecniche di scomposizione.

2x^5+4x^3+6x = √(2)x^4+2√(2)x^2+3√(2)

Grazie.
#78360
avt
Omega
Amministratore
Calcolare le soluzioni dell'equazione

2x^5+4x^3+6x = √(2)x^4+2√(2)x^2+3√(2)

richiede giusto un po' di esperienza e di occhio clinico. Possiamo infatti risolverla scomponendo a dovere i due membri. Al primo membro possiamo raccogliere totalmente il fattore comune 2x, mentre al secondo possiamo mettere in evidenza il radicale √(2)

2x(x^4+2x^2+3) = √(2)(x^4+2x^2+3)

Osserviamo che sia al primo che al secondo membro compare il trinomio

x^4+2x^2+3

e ciò ci deve suggerire la strategia da seguire: trasportiamo tutto al primo membro dopodiché mettiamo in evidenza i fattori comuni

 2x(x^4+2x^2+3)-√(2)(x^4+2x^2+3) = 0 ; (2x-√(2))(x^4+2x^2+3) = 0

Interviene ora la legge di annullamento del prodotto con la quale possiamo analizzare le segunti relazioni

 2x-√(2) = 0 ; x^4+2x^2+3 = 0

La prima non è altro che un'equazione di primo grado risolvibile isolando l'incognita al primo membro

2x-√(2) = 0 → x = (√(2))/(2)

Per quanto concerne l'altra relazione, essa è un'equazione biquadratica che risolviamo avvalendoci della sostituzione t = x^2 con la quale passiamo da

x^4+2x^2+3 = 0

all'equazione di secondo grado nell'incognita t

t^2+2t+3 = 0

Indicati con a, b e c rispettivamente il coefficiente di t^2, quello di t e il termine noto, calcoliamo il discriminante associato mediante la formula

Δ = b^2-4ac = 2^2-4·1·3 = -8 < 0

Poiché il delta è negativo, l'equazione di secondo grado in t non ammette soluzioni reali, conseguentemente nemmeno l'equazione biquadratica ammette soluzioni.

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione iniziale è soddisfatta unicamente dal valore

x = (√(2))/(2)

dunque l'insieme soluzione è S = (√(2))/(2).

Problema risolto!
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby
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