Semplice equazione esponenziale in base 5

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Semplice equazione esponenziale in base 5 #78328

avt
danying
Sfera
Avrei bisogno di capire come risolvere un'equazione esponenziale usando i logaritmi. Ho tentato diverse strade che però mi hanno condotto a soluzioni differenti.

Risolvere la seguente equazione esponenziale usando i logaritmi

3\cdot 5^{x+1}=2

Grazie.
 
 

Semplice equazione esponenziale in base 5 #78329

avt
Galois
Amministratore
La richiesta è abbastanza esplicita: dobbiamo determinare quali valori reali x soddisfano l'equazione esponenziale

3\cdot 5^{x+1}=2

La procedura da seguire è quella standard e consiste nell'isolare il termine esponenziale 5^{x+1} al primo membro.

5^{x+1}=\frac{2}{3}

A questo punto applichiamo ai due membri il logaritmo in base 5 così da sbarazzarci dell'esponenziale al primo membro

\\ \log_{5}(5^{x+1})=\log_{5}\left(\frac{2}{3}\right)\\ \\ x+1=\log_{5}\left(\frac{2}{3}\right)

Ci siamo quindi ricondotti a una semplice equazione di primo grado, che risolviamo isolando x a sinistra

x=\log_{5}\left(\frac{2}{3}\right)-1

Osserviamo che grazie alle proprietà dei logaritmi, e più precisamente la proprietà relativa al logaritmo del rapporto

\\ \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)=\log_{a}(b)-\log_{a}(c)\\ \\ \\  \mbox{con}\ b>0, \ c>0, \ a>0 \ \ \mbox{e}\ \ a\ne 1

la soluzione può essere espressa nella forma equivalente

x=\log_{5}(2)-\log_{5}(3)-1

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os