Equazione con due moduli e argomenti fratti

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Equazione con due moduli e argomenti fratti #78270

avt
Froggy
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione fratta con i valori assoluti a coefficienti irrazionali. Nonostante le abbia tentate proprio tutte, non sono stato in grado di concluderlo a causa dei numerosi passaggi algebrici. Potete aiutarmi per favore?

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione con i valori assoluti

\left|\frac{x}{x+3}+\frac{2x}{x-3}\right|-\left|\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}\right|=0

Grazie.
 
 

Equazione con due moduli e argomenti fratti #78271

avt
Galois
Coamministratore
Per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione con i valori assoluti

\left|\frac{x}{x+3}+\frac{2x}{x-3}\right|-\left|\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}\right|=0

bisogna innanzitutto osservare che l'incognita si manifesta anche a denominatore, pertanto è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori che contengono x siano diversi da zero.

\\ x+3\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -3 \\ \\ x-3\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 3 \\ \\ x^2-9\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2\ne 9 \ \ \ \to \ \ \ x\ne \pm 3

Le condizioni di esistenza sono quindi

C.E.: \ x\ne -3 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 3

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Ora possiamo dedicarci ai passaggi algebrici: ci impegneremo a portare l'equazione in forma normale, cominciando dalle operazioni interne al valore assoluto.

\\ \left|\frac{x(x-3)+2x(x+3)}{(x+3)(x-3)}\right|-\left|\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}\right|=0 \\ \\ \\ \left|\frac{x^2-3x+2x^2+6x}{(x-3)(x+3)}\right|-\left|\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}\right|=0 \\ \\ \\ \left|\frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}\right|-\left|\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}\right|=0

A questo punto isoliamo uno dei valori assoluti al primo membro (non importa quale)

\left|\frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}\right|=\left|\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}\right|

Ci siamo ricondotti al "modello"

|A(x)|=|B(x)|

dove

\\ A(x)=\frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)} \\ \\ \\ B(x)=\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}

In accordo con la teoria, le soluzioni dell'equazione coincidono con quelle delle seguenti:

\\ \frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}=-\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9} \\ \\ \\ \frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}=\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}

Risolviamole separatamente, partendo dalla prima

\frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}=-\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}

Essa è un'equazione fratta di secondo grado di cui determiniamo le eventuali soluzioni, scomponendo innanzitutto la differenza di quadrati al denominatore del secondo membro

\frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}=-\frac{\sqrt{2}x}{(x-3)(x+3)}

Trasportiamo tutto al primo prestando la massima attenzione ai segni

\frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}+\frac{\sqrt{2}x}{(x-3)(x+3)}=0

e sommiamo tra loro le frazioni algebriche

\frac{3x^2+3x+\sqrt{2}x}{(x-3)(x+3)}=0

Adesso che l'equazione fratta è in forma normale, possiamo cancellare il denominatore e scrivere l'equazione equivalente

\\ 3x^2+3x+\sqrt{2}x=0 \\ \\ 3x^2+(3+\sqrt{2})x=0

Siamo di fronte a un'equazione spuria le cui soluzioni si ottengono raccogliendo a fattore comune x

x(3x+3+\sqrt{2})=0

e ricorrendo alla legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto tra più fattori è zero se almeno uno dei fattori è nullo. Procedendo in questo modo, otteniamo due equazioni di primo grado di facile risoluzione

\\ x=0 \\ \\ 3x+3+\sqrt{2}=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{-3-\sqrt{2}}{3}

I valori

x=0\ \ \ , \ \ \ x=\frac{-3-\sqrt{2}}{3}

sono effettivamente le prime due soluzioni dell'equazione iniziale, ma attenzione, non abbiamo ancora terminato: bisogna analizzare l'equazione

\frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}=\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}

In realtà, il metodo risolutivo ricalca quasi fedelmente quello seguito in precedenza: vi è solo una piccola variazione di segno

\\ \frac{3x^2+3x}{(x-3)(x+3)}-\frac{\sqrt{2}x}{(x-3)(x+3)}=0 \\ \\ \\ \frac{3x^2+3x-\sqrt{2}x}{(x-3)(x+3)}=0

Una volta cancellato il denominatore, ci riconduciamo all'equazione spuria

\\ 3x^2+(3-\sqrt{2})x=0 \\ \\ x(3x+(3-\sqrt{2}))=0

da cui

x=0 \ \ \ , \ \ \ x=\frac{-3+\sqrt{2}}{3}

Possiamo finalmente concludere che

\left|\frac{x}{x+3}+\frac{2x}{x-3}\right|-\left|\frac{\sqrt{2}x}{x^2-9}\right|=0

è soddisfatta per

x=0 \  \ \ , \ \ \ x=\frac{-3-\sqrt{2}}{3} \ \ \ , \ \ \ x=\frac{-3+\sqrt{2}}{3}

dunque l'insieme soluzione associato è

S=\left\{\frac{-3-\sqrt{2}}{3}, \ 0 , \ \frac{-3+\sqrt{2}}{3}\right\}

Abbiamo finito.

Osservazione: a conti fatti, la presenza del radicale non ha in alcun modo complicato lo svolgimento dell'equazione: dopotutto abbiamo ripercorso pedissequamente la strategia risolutiva standard.
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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