Equazione con due moduli e argomenti fratti
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![]() Froggy Punto | In un esercizio mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione fratta con i valori assoluti a coefficienti irrazionali. Nonostante le abbia tentate proprio tutte, non sono stato in grado di concluderlo a causa dei numerosi passaggi algebrici. Potete aiutarmi per favore? Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione con i valori assoluti ![]() Grazie. |
#78271
![]() Galois Amministratore | Per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione con i valori assoluti ![]() bisogna innanzitutto osservare che l'incognita si manifesta anche a denominatore, pertanto è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori che contengono ![]() Le condizioni di esistenza sono quindi ![]() dove Ora possiamo dedicarci ai passaggi algebrici: ci impegneremo a portare l'equazione in forma normale, cominciando dalle operazioni interne al valore assoluto. ![]() A questo punto isoliamo uno dei valori assoluti al primo membro (non importa quale) ![]() Ci siamo ricondotti al "modello" dove ![]() In accordo con la teoria, le soluzioni dell'equazione coincidono con quelle delle seguenti: ![]() Risolviamole separatamente, partendo dalla prima ![]() Essa è un'equazione fratta di secondo grado di cui determiniamo le eventuali soluzioni, scomponendo innanzitutto la differenza di quadrati al denominatore del secondo membro ![]() Trasportiamo tutto al primo prestando la massima attenzione ai segni ![]() e sommiamo tra loro le frazioni algebriche ![]() Adesso che l'equazione fratta è in forma normale, possiamo cancellare il denominatore e scrivere l'equazione equivalente ![]() Siamo di fronte a un'equazione spuria le cui soluzioni si ottengono raccogliendo a fattore comune ![]() e ricorrendo alla legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto tra più fattori è zero se almeno uno dei fattori è nullo. Procedendo in questo modo, otteniamo due equazioni di primo grado di facile risoluzione ![]() I valori ![]() sono effettivamente le prime due soluzioni dell'equazione iniziale, ma attenzione, non abbiamo ancora terminato: bisogna analizzare l'equazione ![]() In realtà, il metodo risolutivo ricalca quasi fedelmente quello seguito in precedenza: vi è solo una piccola variazione di segno ![]() Una volta cancellato il denominatore, ci riconduciamo all'equazione spuria ![]() da cui ![]() Possiamo finalmente concludere che ![]() è soddisfatta per ![]() dunque l'insieme soluzione associato è ![]() Abbiamo finito. Osservazione: a conti fatti, la presenza del radicale non ha in alcun modo complicato lo svolgimento dell'equazione: dopotutto abbiamo ripercorso pedissequamente la strategia risolutiva standard. |
Ringraziano: CarFaby, Iusbe |
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