Equazione con due moduli e argomenti fratti

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Equazione con due moduli e argomenti fratti #78270

Froggy Punto	In un esercizio mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione fratta con i valori assoluti a coefficienti irrazionali. Nonostante le abbia tentate proprio tutte, non sono stato in grado di concluderlo a causa dei numerosi passaggi algebrici. Potete aiutarmi per favore? Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione con i valori assoluti Grazie.

Equazione con due moduli e argomenti fratti #78271

Galois

Amministratore

Per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione con i valori assoluti

|(x)/(x+3)+(2x)/(x-3)|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0

bisogna innanzitutto osservare che l'incognita si manifesta anche a denominatore, pertanto è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori che contengono

siano diversi da zero.

x+3 ne 0 → x ne-3 ; x-3 ne 0 → x ne 3 ; x^2-9 ne 0 → x^2 ne 9 → x ne±3

Le condizioni di esistenza sono quindi

dove

è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Ora possiamo dedicarci ai passaggi algebrici: ci impegneremo a portare l'equazione in forma normale, cominciando dalle operazioni interne al valore assoluto.

|(x(x-3)+2x(x+3))/((x+3)(x-3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0 ; |(x^2-3x+2x^2+6x)/((x-3)(x+3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0 ; |(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0

|(x(x-3)+2x(x+3))/((x+3)(x-3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0 ; |(x^2-3x+2x^2+6x)/((x-3)(x+3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0 ; |(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0

A questo punto isoliamo uno dei valori assoluti al primo membro (non importa quale)

|(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))| = |(√(2)x)/(x^2-9)|

Ci siamo ricondotti al "modello"

dove

A(x) = (3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) ; B(x) = (√(2)x)/(x^2-9)

In accordo con la teoria, le soluzioni dell'equazione coincidono con quelle delle seguenti:

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) = -(√(2)x)/(x^2-9) ; (3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) = (√(2)x)/(x^2-9)

Risolviamole separatamente, partendo dalla prima

Essa è un'equazione fratta di secondo grado di cui determiniamo le eventuali soluzioni, scomponendo innanzitutto la differenza di quadrati al denominatore del secondo membro

Trasportiamo tutto al primo prestando la massima attenzione ai segni

e sommiamo tra loro le frazioni algebriche

Adesso che l'equazione fratta è in forma normale, possiamo cancellare il denominatore e scrivere l'equazione equivalente

3x^2+3x+√(2)x = 0 ; 3x^2+(3+√(2))x = 0

Siamo di fronte a un'equazione spuria le cui soluzioni si ottengono raccogliendo a fattore comune

e ricorrendo alla legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto tra più fattori è zero se almeno uno dei fattori è nullo. Procedendo in questo modo, otteniamo due equazioni di primo grado di facile risoluzione

x = 0 ; 3x+3+√(2) = 0 → x = (-3-√(2))/(3)

x = 0 ; 3x+3+√(2) = 0 → x = (-3-√(2))/(3)

I valori

sono effettivamente le prime due soluzioni dell'equazione iniziale, ma attenzione, non abbiamo ancora terminato: bisogna analizzare l'equazione

In realtà, il metodo risolutivo ricalca quasi fedelmente quello seguito in precedenza: vi è solo una piccola variazione di segno

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))-(√(2)x)/((x-3)(x+3)) = 0 ; (3x^2+3x-√(2)x)/((x-3)(x+3)) = 0

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))-(√(2)x)/((x-3)(x+3)) = 0 ; (3x^2+3x-√(2)x)/((x-3)(x+3)) = 0

Una volta cancellato il denominatore, ci riconduciamo all'equazione spuria

3x^2+(3-√(2))x = 0 ; x(3x+(3-√(2))) = 0

da cui

Possiamo finalmente concludere che

|(x)/(x+3)+(2x)/(x-3)|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0

è soddisfatta per

dunque l'insieme soluzione associato è

S = (-3-√(2))/(3), 0 , (-3+√(2))/(3)

Abbiamo finito.

Osservazione: a conti fatti, la presenza del radicale non ha in alcun modo complicato lo svolgimento dell'equazione: dopotutto abbiamo ripercorso pedissequamente la strategia risolutiva standard.

Ringraziano: CarFaby, Iusbe

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