Equazione con due moduli e argomenti fratti

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#78270
avt
Froggy
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione fratta con i valori assoluti a coefficienti irrazionali. Nonostante le abbia tentate proprio tutte, non sono stato in grado di concluderlo a causa dei numerosi passaggi algebrici. Potete aiutarmi per favore?

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione con i valori assoluti

|(x)/(x+3)+(2x)/(x-3)|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0

Grazie.
#78271
avt
Galois
Amministratore
Per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione con i valori assoluti

|(x)/(x+3)+(2x)/(x-3)|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0

bisogna innanzitutto osservare che l'incognita si manifesta anche a denominatore, pertanto è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori che contengono x siano diversi da zero.

x+3 ne 0 → x ne-3 ; x-3 ne 0 → x ne 3 ; x^2-9 ne 0 → x^2 ne 9 → x ne±3

Le condizioni di esistenza sono quindi

C.E.: x ne-3 ∧ x ne 3

dove ∧ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Ora possiamo dedicarci ai passaggi algebrici: ci impegneremo a portare l'equazione in forma normale, cominciando dalle operazioni interne al valore assoluto.

|(x(x-3)+2x(x+3))/((x+3)(x-3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0 ; |(x^2-3x+2x^2+6x)/((x-3)(x+3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0 ; |(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0

A questo punto isoliamo uno dei valori assoluti al primo membro (non importa quale)

|(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))| = |(√(2)x)/(x^2-9)|

Ci siamo ricondotti al "modello"

|A(x)| = |B(x)|

dove

A(x) = (3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) ; B(x) = (√(2)x)/(x^2-9)

In accordo con la teoria, le soluzioni dell'equazione coincidono con quelle delle seguenti:

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) = -(√(2)x)/(x^2-9) ; (3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) = (√(2)x)/(x^2-9)

Risolviamole separatamente, partendo dalla prima

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) = -(√(2)x)/(x^2-9)

Essa è un'equazione fratta di secondo grado di cui determiniamo le eventuali soluzioni, scomponendo innanzitutto la differenza di quadrati al denominatore del secondo membro

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) = -(√(2)x)/((x-3)(x+3))

Trasportiamo tutto al primo prestando la massima attenzione ai segni

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))+(√(2)x)/((x-3)(x+3)) = 0

e sommiamo tra loro le frazioni algebriche

(3x^2+3x+√(2)x)/((x-3)(x+3)) = 0

Adesso che l'equazione fratta è in forma normale, possiamo cancellare il denominatore e scrivere l'equazione equivalente

3x^2+3x+√(2)x = 0 ; 3x^2+(3+√(2))x = 0

Siamo di fronte a un'equazione spuria le cui soluzioni si ottengono raccogliendo a fattore comune x

x(3x+3+√(2)) = 0

e ricorrendo alla legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto tra più fattori è zero se almeno uno dei fattori è nullo. Procedendo in questo modo, otteniamo due equazioni di primo grado di facile risoluzione

x = 0 ; 3x+3+√(2) = 0 → x = (-3-√(2))/(3)

I valori

x = 0 , x = (-3-√(2))/(3)

sono effettivamente le prime due soluzioni dell'equazione iniziale, ma attenzione, non abbiamo ancora terminato: bisogna analizzare l'equazione

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3)) = (√(2)x)/(x^2-9)

In realtà, il metodo risolutivo ricalca quasi fedelmente quello seguito in precedenza: vi è solo una piccola variazione di segno

(3x^2+3x)/((x-3)(x+3))-(√(2)x)/((x-3)(x+3)) = 0 ; (3x^2+3x-√(2)x)/((x-3)(x+3)) = 0

Una volta cancellato il denominatore, ci riconduciamo all'equazione spuria

3x^2+(3-√(2))x = 0 ; x(3x+(3-√(2))) = 0

da cui

x = 0 , x = (-3+√(2))/(3)

Possiamo finalmente concludere che

|(x)/(x+3)+(2x)/(x-3)|-|(√(2)x)/(x^2-9)| = 0

è soddisfatta per

x = 0 , x = (-3-√(2))/(3) , x = (-3+√(2))/(3)

dunque l'insieme soluzione associato è

S = (-3-√(2))/(3), 0 , (-3+√(2))/(3)

Abbiamo finito.

Osservazione: a conti fatti, la presenza del radicale non ha in alcun modo complicato lo svolgimento dell'equazione: dopotutto abbiamo ripercorso pedissequamente la strategia risolutiva standard.
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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