Scomposizione con Ruffini e polinomio con frazioni

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Scomposizione con Ruffini e polinomio con frazioni #77901

avt
Pasqui95
Punto
Non ho proprio idea di come si scompone un polinomio di terzo grado a coefficienti fratti con la regola di Ruffini. Sinceramente il mio professore non lo ha spiegato e dal libro non si capisce granché. Potreste spiegarmi il metodo usando come esempio il seguente esercizio?

Scomporre il polinomio di terzo grado

P(x)=x^3+\frac{2x^2}{3}-\frac{7x}{3}+\frac{2}{3}

usando la regola di Ruffini.

Grazie.
 
 

Scomposizione con Ruffini e polinomio con frazioni #77904

avt
Galois
Coamministratore
Il nostro compito consiste nello scomporre il polinomio

P(x)=x^3+\frac{2x^2}{3}-\frac{7x}{3}+\frac{2}{3}

usando la regola di Ruffini, ma attenzione: l'esercizio è caratteristico perché P(x) è un polinomio a coefficienti fratti!

In queste circostanze diventa fondamentale esprimere i monomi che compongono il polinomio a denominatore comune

P(x)=\frac{3x^3+2x^2-7x+2}{3}=\frac{1}{3}(3x^3+2x^2-7x+2)

e invece di fattorizzare P(x), scomporremo il polinomio a coefficienti interi che si trova numeratore, ossia

P_{1}(x)=3x^3+2x^2-7x+2

Il primo passo del metodo di Ruffini prevede di determinare una radice razionale, ossia un numero razionale in grado di annullare il polinomio.

Essa sarà del tipo \frac{p}{q} dove:

- il numeratore p è un divisore intero del termine noto;

- il denominatore q è un divisore intero del coefficiente direttivo, ossia del coefficiente del termine di grado massimo.

Nel nostro caso, il termine noto del polinomio è 2, i cui divisori interi sono

\mbox{Divisori interi di }2=\{\pm 1, \ \pm 2\}

mentre il coefficiente del termine di grado massimo è 3 e i suoi divisori sono

\mbox{Divisori interi di }3=\{\pm 1, \ \pm 3\}

Le possibili radici razionali devono appartenere necessariamente all'insieme formato dalle frazioni aventi per numeratore un divisore del termine noto e per denominatore un divisore del coefficiente direttivo:

\left\{\pm 1, \ \pm 2, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm\frac{2}{3}\right\}

Proviamo a sostituire al posto di x in P_{1}(x) i valori dell'insieme e determiniamo quello che lo annulla.

Se x=1, P_1(1) si annulla, infatti

P_1(1)=3\cdot 1^3+2\cdot 1^2-7\cdot 1+2=3+2-7+2=0

Ecco la radice con cui innescare la regola! Inoltre, dalla teoria segue che P_1(x) si esprime come prodotto tra (x-radice) e un polinomio Q(x) da determinare: in simboli matematici

P_1(x)=(x-1)Q(x)

A questo punto non ci resta che determinare i coefficienti di Q(x) con la tabella di Ruffini, costruita come segue:

- riportiamo i coefficienti di P_1(x) in alto, dopo la prima linea verticale, avendo cura di inserire il termine noto oltre la seconda linea di separazione;

- riportiamo la radice razionale prima della linea verticale sinistra e sopra la linea orizzontale.

In buona sostanza, al primo passaggio la tabella di Ruffini si presenta così:

\begin{array}{c|ccccc|c}&3&&2&&-7&2\\ &&&&&& \\ 1&&&&&& \\ \hline &&&&&&\end{array}

Trasportiamo il 3 in basso

\begin{array}{c|ccccc|c}&3&&2&&-7&2\\ &&&&&& \\ 1&&&&&& \\ \hline &3&&&&&\end{array}

moltiplichiamolo per la radice e scriviamo il risultato sotto il 2

\begin{array}{c|ccccc|c}&3&&2&&-7&2\\ &&&&&& \\ 1&&&3&&& \\ \hline &3&&&&&\end{array}

Eseguiamo la somma tra 2 e 3 e incolonniamo il risultato

\begin{array}{c|ccccc|c}&3&&2&&-7&2\\ &&&&&& \\ 1&&&3&&& \\ \hline &3&&5&&&\end{array}

Moltiplichiamo 5 per la radice e riportiamo il prodotto sotto il numero -7

\begin{array}{c|ccccc|c} &3&&2&&-7&2\\ &&&&&& \\ 1&&&3&&5& \\ \hline &3&&5&&&\end{array}

Addizioniamo -7 e 5 e incolonniamo il risultato

\begin{array}{c|ccccc|c}&3&&2&&-7&2\\ &&&&&& \\ 1&&&3&&5& \\ \hline &3&&5&&-2&\end{array}

Moltiplichiamo infine -2 per la radice, riportiamo il risultato sotto il numero 2 ed eseguiamo la somma

\begin{array}{c|ccccc|c}&3&&2&&-7&2\\ &&&&&& \\ 1&&&3&&5&-2 \\ \hline &3&&5&&-2&//\end{array}

Si osservi che nel contesto delle scomposizioni, l'ultima somma dev'essere obbligatoriamente zero (indicato con // per comodità): se così non è, c'è un errore nello svolgimento.

I numeri al di sotto della linea orizzontale sono i coefficienti di Q(x), ordinati secondo le potenze decrescenti di x, pertanto:

Q(x)=3x^2+5x-2

Non abbiamo ancora finito, perché Q(x) potrebbe essere ulteriormente fattorizzabile. Consideriamo l'insieme delle frazioni aventi al numeratore un divisore del termine noto e al denominatore un divisore intero del coefficiente direttivo

\left\{\pm 1, \ \pm 2, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{2}{3}\right\}

e determiniamo una radice razionale che annulla Q(x): il valore che annulla il polinomio è x=-2, infatti

Q(-2)=3(-2)^2+5(-2)-2=12-10-2=0

A questo punto costruiamo la tabella di Ruffini

\begin{array}{c|ccc|c}&3&&5&-2\\ &&&& \\ -2&&&-6&2 \\ \hline &3&&-1& // \end{array}

dalla quale ricaviamo che

Q(x)=(x+2)(3x-1)

Abbiamo finalmente ottenuto tutte le informazioni necessarie per concludere l'esercizio: basta infatti sostituire a ritroso e concludere che la scomposizione di P(x) è

P(x) =\frac{1}{3}(x-1)(x+2)(3x-1)

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os