Calcolare MCD e mcm di tre polinomi da scomporre

Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio sul calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore tra polinomi. Conosco bene la strategia risolutiva, l'unica mia difficoltà risiede nello scomporre i polinomi e, da quello che ho capito, bisogna usare la regola di Ruffini.

Dopo aver scomposto in fattori irriducibili i polinomi



calcolare il loro minimo comune multiplo e il loro massimo comune divisore.

Grazie.

Per calcolare il massimo comune divisore il minimo comune multiplo dei polinomi



bisogna necessariamente scomporli nel prodotto di fattori irriducibili, usando le opportune tecniche di fattorizzazione.

Usiamo la regola di Ruffini per scomporre il polinomio



Chiaramente abbiamo bisogno di una radice del polinomio, ossia di un valore da attribuire ad che annulla il polinomio: esso va ricercato tra i divisori interi del termine noto.



Procedendo per tentativi, una radice del polinomio è , infatti se sostituiamo 1 ad , otteniamo:



Il valore con cui innescare il metodo di Ruffini è . Costruiamo e riempiamo la tabella:



dalla quale ricaviamo:



Non abbiamo ancora finito, infatti, il polinomio si fattorizza ulteriormente. Invece di usare nuovamente il metodo di Ruffini, possiamo sfruttare la tecnica di scomposizione per i trinomi notevoli.

Ricerchiamo due numeri tali che la somma è uguale al coefficiente di , mentre il loro prodotto è uguale al termine noto:



Procedendo per tentativi, scopriamo che i numeri in questione sono , per cui il trinomio si scompone secondo la regola



vale a dire



In definitiva, la scomposizione del polinomio è:



Scomponiamo il polinomio avvalendoci dei prodotti notevoli. Se osserviamo bene, esso è lo sviluppo del quadrato di binomio , infatti:

è il quadrato di ;

è il quadrato di se stesso;

è il doppio prodotto tra , cambiato di segno, pertanto:



L'ultimo polinomio, ossia è il trinomio particolare che abbiamo già scomposto



Ora che abbiamo scomposto i tre polinomi, siamo in grado di esplicitare l'MCD e l'mcm, seguendo scrupolosamente le seguenti regole:

- il massimo comune divisore di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con il più piccolo esponente;

- il minimo comune multiplo di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il più grande esponente.

Riportiamo le scomposizioni uno di seguito all'altro per avere ben chiara la situazione:



dopodiché affidiamoci alle regole esposte in precedenza per concludere che il massimo comune divisore tra i polinomi è:



perché le scomposizioni non presentano fattori comuni, mentre il minimo comune multiplo è:



Ecco fatto!