Calcolare MCD e mcm di tre polinomi da scomporre

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Calcolare MCD e mcm di tre polinomi da scomporre #77875

avt
FAQ
Punto
Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio sul calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore tra polinomi. Conosco bene la strategia risolutiva, l'unica mia difficoltà risiede nello scomporre i polinomi e, da quello che ho capito, bisogna usare la regola di Ruffini.

Dopo aver scomposto in fattori irriducibili i polinomi

a^3-6a^2+11a-6 \ \ \ , \ \ \ a^2-2a+1 \ \ \ , \ \ \ a^2-5a+6

calcolare il loro minimo comune multiplo e il loro massimo comune divisore.

Grazie.
Ringraziano: Omega, Ifrit
 
 

Calcolare MCD e mcm di tre polinomi da scomporre #77925

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per calcolare il massimo comune divisore il minimo comune multiplo dei polinomi

a^3-6a^2+11a-6 \ \ \ , \ \ \ a^2-2a+1 \ \ \ , \ \ \ a^2-5a+6

bisogna necessariamente scomporli nel prodotto di fattori irriducibili, usando le opportune tecniche di fattorizzazione.

Usiamo la regola di Ruffini per scomporre il polinomio

a^3-6a^2+11a-6

Chiaramente abbiamo bisogno di una radice del polinomio, ossia di un valore da attribuire ad a che annulla il polinomio: esso va ricercato tra i divisori interi del termine noto.

\mbox{Divisori di }6=\{\pm 1, \ \pm 2 , \ \pm 3, \ \pm 6\}

Procedendo per tentativi, una radice del polinomio a^3-6a^2+11a-6 è a=1, infatti se sostituiamo 1 ad a, otteniamo:

1^3-6\cdot 1^2+11\cdot 1-6=1-6+11-6=0

Il valore con cui innescare il metodo di Ruffini è a=1. Costruiamo e riempiamo la tabella:

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&-6&&11&-6\\&&&&&& \\ 1&&&1&&-5&6\\ \hline &1&&-5&&6&//\end{array}

dalla quale ricaviamo:

a^3-6a^2+11a-6=(a-1)(a^2-5a+6)

Non abbiamo ancora finito, infatti, il polinomio a^2-5a+6 si fattorizza ulteriormente. Invece di usare nuovamente il metodo di Ruffini, possiamo sfruttare la tecnica di scomposizione per i trinomi notevoli.

Ricerchiamo due numeri A\ \mbox{e} \ B tali che la somma è uguale al coefficiente di a, mentre il loro prodotto è uguale al termine noto:

A+B=-5 \ \ \ ;  \ \ \ A\cdot B=6

Procedendo per tentativi, scopriamo che i numeri in questione sono A=-3 \ \mbox{e} \ B=-2, per cui il trinomio si scompone secondo la regola

a^2+s a+p=(a+A)(a+B)

vale a dire

a^2-5a+6=(a-3)(a-2)

In definitiva, la scomposizione del polinomio a^3-6a^2+11a-6 è:

a^3-6a^2+11a-6=(a-1)(a-2)(a-3)

Scomponiamo il polinomio a^2-2a+1 avvalendoci dei prodotti notevoli. Se osserviamo bene, esso è lo sviluppo del quadrato di binomio (a-1)^2, infatti:

\bullet \ \ \ a^2 è il quadrato di a;

\bullet \ \ \ 1 è il quadrato di se stesso;

\bullet \ \ \ 2a è il doppio prodotto tra a\ \mbox{e}\ 1, cambiato di segno, pertanto:

a^2-2a+1=(a-1)^2

L'ultimo polinomio, ossia a^2-5a+6 è il trinomio particolare che abbiamo già scomposto

a^2-5a+6=(a-3)(a-2)

Ora che abbiamo scomposto i tre polinomi, siamo in grado di esplicitare l'MCD e l'mcm, seguendo scrupolosamente le seguenti regole:

- il massimo comune divisore di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con il più piccolo esponente;

- il minimo comune multiplo di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il più grande esponente.

Riportiamo le scomposizioni uno di seguito all'altro per avere ben chiara la situazione:

\\ a^3-6a^2+11a-6=(a-1)(a-2)(a-3) \\ \\ a^2-2a+1=(a-1)^2 \\ \\ a^2-5a+6=(a-3)(a-2)

dopodiché affidiamoci alle regole esposte in precedenza per concludere che il massimo comune divisore tra i polinomi è:

MCD=1

perché le scomposizioni non presentano fattori comuni, mentre il minimo comune multiplo è:

mcm=(a-1)^2(a-2)(a-3)

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Galois
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Os