Esercizio equazione goniometrica elementare con tangente

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Esercizio equazione goniometrica elementare con tangente #77864

avt
FAQ
Punto
Nel compito svolto in classe, mi sono ritrovato un'equazione goniometrica elementare con la tangente che non sono stato in grado di risolvere. Ho chiesto delucidazioni al professore il quale mi ha suggerito di esprimere prima di tutto l'equazione in forma normale e di usare in seguito la circonferenza goniometrica.

Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:

\frac{3\tan(x)}{\sqrt{3}}=1

Grazie.
 
 

Esercizio equazione goniometrica elementare con tangente #77866

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo l'equazione goniometrica

\frac{3\tan(x)}{\sqrt{3}}=1

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, occorre imporre le opportune condizioni di esistenza per far sì che l'equazione sia ben posta. In base alla definizione, la tangente è ben posta nel momento in cui il suo argomento è diverso da \frac{\pi}{2} a meno di multipli di \pi, vale a dire:

x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi

dove k è un numero intero.

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, torniamo a occuparci dell'equazione. Il nostro obiettivo diventa quello di esprimere l'equazione in forma normale, vale a dire nella forma

\tan(x)=m\ \ \ \mbox{con} \ m\in\mathbb{R}

A tal proposito è sufficiente moltiplicare per \sqrt{3} i due membri:

\frac{3\tan(x)}{\sqrt{3}}=1\ \ \ \to \ \ \ 3\tan(x)=\sqrt{3}

e dividere i due membri per 3

\tan(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}

Ora l'equazione è in forma normale! Per ricavare le soluzioni, aiutiamoci con la circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli della tangente, se necessario.

Disegniamo un sistema di assi cartesiani e rappresentiamo la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 (è la circonferenza goniometrica).

Tracciata la retta tangente alla circonferenza nel punto (1,0), consideriamo il suo punto di ordinata \frac{\sqrt{3}}{3}.

Rappresentiamo infine la retta che congiunge il punto \left(1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right) con l'origine: essa individua due angoli, orientati in senso antiorario, con l'asse delle ascisse positive che rappresentano le soluzioni dell'equazione riferite all'intervallo 0\le x<2\pi.

Esercizi equazioni goniometriche elementari 12

Le ampiezze dei due angoli si ricavano avvalendosi della tabella dei valori notevoli della tangente, mediante la quale ricaviamo

x=\frac{\pi}{6}\ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{7\pi}{6}

La periodicità della tangente ci permette inoltre di prendere in considerazione una delle soluzioni precedenti e di eleggerla a rappresentante: tutte le altre soluzioni si ricavano aggiungendo k\pi.

Se scegliamo \frac{\pi}{6} come rappresentante, le soluzioni dell'equazione goniometrica sono:

x=\frac{\pi}{6}+k\pi

dove k è un numero intero qualsiasi.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega
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Os